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这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
复数及其表示法
介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
复数的运算
高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
复数形式的代数方程和平面几何图形
就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
复数域的几何模型——复球面
将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
复变函数
不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
复变函数的极限和连续性
与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数
这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念
介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系
出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数
和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分
这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
一、复积分的概念
复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。
二、柯西积分定理
意思就是如果复变函数在区域内处处解析,,又有点像大物里的无旋场。
这里有两个重要的推论,闭合变形原理和复合闭路定理。
三、柯西积分公式
用柯西积分定理的推论推导出来的一个公式,揭示了解析函数可以由复积分表示。为求解复积分提供了一种途径。
四、解析函数的高阶导数
讲了复变函数和实变函数完全不同的一点,解析函数的高阶导数是必然存在的。还解释了几个定理公式:柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理。
第四章:级数
实数范围内的级数问题的拓展,研究对象从实数换成了复数。
一、复数项级数
复数项级数,在我看来,就是两个实数项级数凑成一组,但是求解问题时还是要分开解决。这部分的问题和实数项级数没有什么差别,就是一个变成了两个。
二、幂级数
这部分内容基本是原原本本的把实数范围的幂级数概念抄了一遍,多了阿贝尔定理和收敛圆、收敛半径等新概念,需要时间吸收。
三、泰勒级数
将实数的泰勒级数概念,转化为了复数的泰勒级数概念,将解析函数展开为幂级数的方法类似,同时因为复数的一些性质,让原本在实数范围内泰勒级数的一些东西变得容易理解。
四、洛朗级数
因为泰勒级数的定义,使得解析函数无法在指定点的去心邻域内展开,所以发展出了洛朗级数。而洛朗级数的实质还是泰勒级数。
第五章:留数
这一章可以看作是微积分中讲定积分那章,但是由于复变函数和实变函数的区别,所以求定积分的方法也不同。而孤立奇点、留数、复变函数的定积分这三节的内容是层层推进的,每一节都是下一节的基础。
一、孤立奇点
简言之,函数在孤立奇点某个去心邻域可解析,但在该点不可解析。而通过孤立奇点这个概念,又发展了可去奇点、极点、本性奇点、零点等概念。
二、留数
留数就是解析函数展开成幂级数后再逐项积分最后留下来的那个常数。而求留数则要用一条封闭曲线将所有孤立奇点包起来,再用公式求留数。所以留数其实是一种积分。而确定孤立奇点的类型会更加方便地求出留数。
三、留数在定积分计算上的应用
因为之前所讲的复变函数的积分都是闭合回路的积分,所以求定积分先要凑出闭合回路。即还是要用到前面的积分知识,然后在通过变形整理凑成留数公式的形式,求取定积分。
第六章:保形映射
这一章就是讲复变函数自变量所在的平面和因变量所在的平面,通过函数映射产生的数量、位置关系,我感觉主要是位置关系。很多内容都是新的。但是各小节之间是互相联系的。
一、保形映射的概念
这一节介绍了复变函数的导数的几何性质,和保形映射的概念、分类、性质。这一节和以前的知识有很大的区别,主要是在于复变函数的因变量是复数,可以看做实变函数中的一对数,所以性质和学过的单值函数有很多不一样的地方。
二、分式线性映射
分式线性映射就是满足这种形式的映射,本节介绍了这种映射的构成、各种性质,和保形映射有很多相似之处。
三、唯一决定分式线性映射的条件
因为满足这种形式的映射包含四个常数,而只要分子分母同时除以其中一个常数就只剩下三个,所以唯一确定一个分式线性映射只需要三个常数。而这一节主要讨论通过如何改变三个参数能将映射的区域改变成想要的。
四、几个初等函数所构成的映射
这一节就是讲由初等函数所构成的映射的各种性质和相应的应用。