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第十一章三角形
1、三角形的概念:由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形中的主要线段
(1)三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段
(2)三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段
(3)三角形的高:从三角形一个顶点向它对的边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
3、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。推论:三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用:①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时,可确定第三边的范围③证明线段不等关系。
4、三角形的内角和定理及推论:三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
推论:①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
5、多边形定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形。
6、n边形的内角和等于180°(n-2)。
7、多边形的定理:任意凸形多边形的外角和等于360°n边形的对角线条数等于1/2·n(n-3)
8、多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段
从n边形一个顶点可以引(n-3)条对角线,将多边形分成(n-2)个三角形。
:n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3,n是正整数)
10、多边形的外角和公式:多边形的外角和等于360°.
第十二章全等三角形
1、全等三角形定义:能够完全重合的两个三角形
2、全等三角形性质:
全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相、对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定定理
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)
4角的平分线:(性质)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(判定)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
5、全等变换:只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换
全等变换包括一下三种:平移变换、对称变换、旋转变换
第十三章轴对称
1、轴对称图形:把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合
2、轴对称的性质:①关于某直线对称的两个图形是全等形
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
3、线段的垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线
4、线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等
5在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,,
纵坐标相等.,点(x,y)(x,y)关于y轴对称的点的坐标为______.
6、等腰三角形的性质:①.等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(三线合一)
7、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)
8、等边三角形的性质:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600。
9、等边三角形的判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形②有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
10、三角形中的中位线:连接三角形两边中点的线段
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
第十四章整式乘除与因式分解
1、幂的运算性质:同底数幂相乘,底数不变,·an=am+n(m、n为正整数)
2、幂的乘方,底数不变,指数相乘.(am)n=amn(m、n为正整数)
3、积的乘方等于各因式乘方的积.(ab)n=anbn(n为正整数)
同底数幂相除,底数不变,=am-n(a≠0,m、n都是正整数,且m>n)
零指数幂的概念:a0=1(a≠0)
:a-p=(a≠0,p是正整数)
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂,等于这个数的p指数幂的倒数,也可表示为:(m≠0,n≠0,p为正整数)
单项式的乘法法则:把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式的乘法法则:用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则:先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加.
单项式的除法法则:把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
乘法公式:①平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
②完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
20、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式
21、提公因式法:公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;
②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;
 第十五章分式
1、分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。①分式有意义:分母不为0()②分式无意义:分母为0()
2、分式的基本性质:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
3、分式的约分定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去
注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。
4、最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式
5、分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式
6、最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母的公分母
7、分式的四则运算与分式的乘方
分式的乘除法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为:
分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为
分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子
22、分式的加减法则:同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为
23、异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为
24、整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。
分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。
分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
列分式方程基本步骤
审—仔细审题,找出等量关系。
设—合理设未知数。
列—根据等量关系列出方程(组)。
解—解出方程(组)。注意检验
答—答题。
第十六章二次根式
1、二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。
2、最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;
⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
3、二次根式的性质:
4、.二次根式的运算:(1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
勾股定理
1、.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2
2.、勾股定理逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)
.直角三角形的性质:(1)、直角三角形的两个锐角互余。
(2)、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、直角三角形的判定
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
命题的概念:判断一件事情的语句
理解:命题的定义包括两层含义:(1)命题必须是个完整的句子;
这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类(按正确、错误与否分)
真命题:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
假命题:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
3、公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题
4、定理:用推理的方法判断为正确的命题
5、证明:判断一个命题的正确性的推理过程
6、三角形中的中位线:连接三角形两边中点的线段
7、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
8、三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行。数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第十八章平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
一、平行四边形
1、平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2、平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.
(1)角:平行四边形的邻角互补,对角相等;(2)边:平行四边形两组对边分别平行且相等;
(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分;
(4)面积:①S=底高ah;
3、平行四边形的判别方法;①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4:一组平行且相等的四边形是平行四边形
二、.几种特殊四边形的有关概念
(1)矩形:有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一个角是直角,两者缺一不可.
(2)菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形,它是研究菱形的基础,它既可以看作是菱形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,要注意把握:①平行四边形;②一组邻边相等,两者缺一不可.
(3)正方形:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,它是最特殊的平行四边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是一种非常完美的图形.
(4)梯形:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,对于这个定义,要注意把握:①一组对边平行;②一组对边不平行,同时要注意和平行四边形定义的区别,还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题.(5)等腰梯形:是一种特殊的梯形,它是两腰相等的梯形,特殊梯形还有直角梯形.
(1)矩形:①边:对边平行且相等;②角:对角相等、邻角互补;
③对角线:对角线互相平分且相等;④对称性:轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条).
(2)菱形:①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补;
③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角④对称性:轴对称图形(对角线所在直线,2条).(3)正方形:①边:四条边都相等;②角:四角相等;
③对角线:对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为450;④对称性:轴对称图形(4条).
(4)等腰梯形:①边:上下底平行但不相等,两腰相等;②角:同一底边上的两个角相等;对角互补
③对角线:对角线相等;④对称性:轴对称图形(上下底中点所在直线).
(1)矩形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形;②对角线相等的平行四边形;③四个角都相等
(2)菱形的判定:满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形;②对角线互相垂直的平行四边形;③四条边都相等.
(3)正方形的判定:满足下列条件之一的四边形是正方形.
①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形;③对角线互相垂直的矩形.④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形;
(4)等腰梯形的判定:满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
①同一底两个底角相等的梯形;②对角线相等的梯形.
第十九章一次函数(一)函数
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
函数的图像:一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
(二)一次函数
1、一次函数的定义:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且¹)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当b=0=时,一次函数y=kx=,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b=+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
2、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,•直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:(0,0)、(1,k)
(3)走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,•图像经过二、四象限(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小(5)倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-kb,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
解析式:y=kx+b(k、b是常数,k¹0)
增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位
第二十章数据的分析
1、加权平均数:加权平均数的计算公式。
2、将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3、组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。
4、一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5、方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。
6、数据的收集与整理的步骤:收集数据、.整理数据、描述数据、分析数据、撰写调查报告、交流
7、平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响,这是一个优势,中位数的计算很少不受极端值的影响。