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等差数列
通项公式:an=a1+(n-1)d.
等差中项:A=
通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
例:设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n.
若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
S2n-1=(2n-1)an.
若n为偶数,则S偶-S奇=;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an,则Sn=n(a1+an)2,或等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+n(n-1)2d
等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=n2+(a1-d2)n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).
最值问题
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
等比数列
(1)通项an=a1·qn-:an=am·qn-m,(n,m∈N+).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{an2},{an·bn},anbn仍是等比数列.
(4)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
(5)等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq)1-q
求通项公式方法:
(1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法:
例:已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an.
(2)an+1an=f(n)型,采用叠乘法:
例:a1=1,an=an-1(n≥2);
(3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列:
例:a1=1,an+1=3an+2;
数列中求最值问题
数列求和
公式法:
例:已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,Sn是其前n项和,且4a1,a5,-;求Tn=a2+a4+a6+…+a2n的值.
(2)倒序相加法
(3)错位相减法:例:已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-{an}的通项公式;求数列的前n项和.
(4)裂项相消法:例:在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an.
求Sn的表达式;设bn=,求{bn}的前n项和Tn.
(5)分组转化求和法:例:已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),且x1,x4,:p,q的值;数列{xn}前n项和Sn的公式.
(6)并项求和法
常用特殊公式:(1)1n(n-1)=-;(2)1(2n-1)(2n+1)=;
(3)=-
数列的综合应用
{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项an;
(2)令bn=2an-10,证明:数列{bn}为等比数列.
{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.
{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
{an}的公比q=3,前3项和S3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式.
{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)是否存在k∈N*,使得++…+<k对任意n∈N*恒成立,若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由.
{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的正整数n的最小值.
,
从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,(xk,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.0
,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n≥1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=tanan·tanan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
高考动向
{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn=,n∈N*,且a1=2.
(1)求a2,a3的值;
(2)设cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列;
(3)设Sn为{an}的前n项和,证明++…++≤n-(n∈N*)
{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*满足关系式2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的通项公式是bn=,前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn<1.
{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.
{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.