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第一章丰富的图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形
圆柱
柱
生活中的立体图形球棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……
(按名称分)锥圆锥
棱锥
4、棱柱及其有关概念:
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
5、正方体的平面展开图:11种
6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图:从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
8、多边形:由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形,叫做多边形。
从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。
弧:圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
第二章有理数及其运算
1、有理数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
负有理数
或整数
有理数
分数
2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零
3、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想,并能灵活运用。
4、倒数:如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
5、绝对值:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
6、有理数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
7、有理数的运算:
(1)五种运算:加、减、乘、除、乘方
(2)有理数的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
字母表示数
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、同类项
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
3、合并同类项法则:把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
4、去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算:
整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。
第四章平面图形及其位置关系
1、线段:绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。
2、射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。
3、直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。
4、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。
5、点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
6、直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
7、线段的性质
(1)线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短。
(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
8、线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
9、角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。
或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
10、平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
11、角的表示
角的表示方法有以下四种:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
12、角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’,1’=60”
13、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
14、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
15、平行线:
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
注意:
(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
16、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
17、垂直:
两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
18、垂线的性质:
性质1:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
19、点到直线的距离:过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
20、同一平面内,两条直线的位置关系:相交或平行。
第五章一元一次方程
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。
(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1
第六章生活中的数据
1、科学记数法
一般地,一个大于10的数可以表示成的形式,其中,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。
2、扇形统计图及其画法:
扇形统计图:利用圆与扇形来表示总体与部分的关系,即圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。
画法:
(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比)。
(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。
(3)在圆中画出各个扇形,并标上百分比。
3、各种统计图的优缺点
条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数目。
折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况。
扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
可能性
1、确定事件和不确定事件
(1)、确定事件
必然事件:生活中,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件。
不可能事件:有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件。
(2)、不确定事件:
有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件
(3)、
必然事件
确定事件
事件不可能事件
不确定事件
2、不确定事件发生的可能性
一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的。
必然事件发生的可能性是1
不可能事件发生的可能性是0
第八章整式的运算
一.   整式
①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数,作为单项式的系数,必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
①,,,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,,,但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数.
.
,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
“-”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.
※同底数幂的乘法法则:(m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式;
②指数是1时,不要误以为没有指数;
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才能相加;
④当三个或三个以上同底数幂相乘时,法则可推广为(其中m、n、p均为正数);
⑤公式还可以逆用:(m、n均为正整数)
:(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.
,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底,但可以利用乘方法则化成同底,
如将(-a)3化成-a3
,但可以化成相同。
(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b)n=an+bn(a、b均不为零)。
:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(n为正整数)。
。
:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即(a≠0,m、n都是正数,且m>n).
:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-=1),则00无意义.
③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即(a≠0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的;当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如,
④运算要注意运算顺序.
:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点:
①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。这时容易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时,要注意运算顺序。
※
多项式与多项式相乘,先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点:
①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到
:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,即其结构特征是:
①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互为相反数;
②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。
:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即;
口决:首平方,尾平方,2倍乘积在中央;
:
①公式左边是二项式的完全平方;
②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍。
,要注意公式右边中间项的符号,以及避免出现这样的错误。
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。
第九章平行线与相交线
如果两个角的和为90°(或直角),那么这两个角互为余角;
如果两个角的和为180°(或平角),那么这两个角互为补角;
注意:这两个概念都是对于两个角而言的,而且两个概念强调的是两个角的数量关系,与两个角的相互位置没有关系。
它们的主要性质:同角或等角的余角相等;
同角或等角的补角相等。
两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理,共有三条:
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行。
平行线的特征即平行线的性质定理,共有三条:
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补。
尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。
直尺的功能是:在两点间连接一条线段;将线段向两方向延长。
圆规的功能是:以任意一点为圆心,任意长度为半径作一个圆;以任意一点为圆心,任意长度为半径画一段弧。
第十章生活中的数据
:对任意一个正数可能写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是整数,这种记数的方法称为科学记数法。
,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位;对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。
:
①设定目标;②收集数据;③整理数据;④表达与描述数据;⑤分析结果。
第十一章概率
,都为50%。
,而概率正是研究不确定事件的一门学科。
。
必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1
事件发生概率=
第十二章三角形
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
这里要注意两点:
①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”;如果在同一直线上,三角形就不存在;
②三条线段“首尾是顺次相接”,是指三条线段两两之间有一个公共端点,这个公共端点就是三角形的顶点。
三角形按内角的大小可以分为三类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
根据公理“连结两点的线中,线段最短”可得三角形三边关系的一个性质定理,即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质:三角形任意两边之差小于第三边。
对于这两个性质,要全面理解,掌握其实质,应用时才不会出错。
设三角形三边的长分别为a、b、c则:
①一般地,对于三角形的某一条边a来说,一定有|b-c|<a<b+c成立;反之,只有|b-c|<a<b+c成立,a、b、c三条线段才能构成三角形;
②特殊地,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a,那么a、b、c三条线段就能构成三角形;如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,那么这三条线段就能构成三角形。
三角形三个内角的和为180°
①直角三角形的两个锐角互余;
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角;
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
、高和中线
①三角形的角平分线、中线和高都是线段,不是直线,也不是射线;
②任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高;
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置:锐角三角形的三条高都在三角形的内部,如图1;直角三角形有一条高在三角形的内部,另两条高恰好是它两条边,如图2;钝角三角形一条高在三角形的内部,另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中,三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于一点。
能够完全重合的图形称为全等形。全等图形的形状和大小都相同。只是形状相同而大小不同,或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角