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一  负数
1、负数的由来: 
为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出„„),光有学过的0   1    2/5 „„是远远不够的。所以出现了负数,以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负
 2、负数:小于0的数叫负数(不包括0),数轴上0左边的数叫做负数。 
若一个数小于0,则称它是一个负数。负数有无数个,其中有(负整数,负分数和负小数) 
负数的写法:数字前面加负号“-”号,   不可以省略   例如:-2,-,-45,-25
 3、正数:大于0的数叫正数(不包括0),数轴上0右边的数叫做正数 
若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个,其中有(正整数,正分数和正小数)                 
 正数的写法:数字前面可以加正号“+”号,也可以省略不写。例如:+2,,+45,25  
4、  0 既不是正数,也不是负数,它是正、负数的分界限 
负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小,正数都比负数大
 5、数轴: 
  负数     0      正数 
              
                           左边     <     右边 
6、比较两数的大小: 
①利用数轴:      负数<0<正数    或     左边<右边 
②利用正负数含义:正数之间比较大小,数字大的就大,数字小的就小。负数之间比较大小,数字大的反而小,数字小的反而大         1/3 >1/6      -1/3 <-1/6  
二  百分数(二)
(一)、折扣和成数 
1、折扣:用于商品,现价是原价的百分之几,叫做折扣。通称“打折”。 
几折就是十分之几,也就是百分之几十。例如八折=8/10 =80﹪,六折五= =65/100 =65﹪ 
解决打折的问题,关键是先将打的折数转化为百分数或分数, 
然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答  商品现在打八折  :现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五:现在的售价是原价的65﹪ 
2、成数: 
几成就是十分之几,也就是百分之几十。例如一成=1/10 =10﹪,八成五= =85/100 =80﹪ 
解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数或分数,然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答 
这次衣服的进价增加一成:这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪ 
(二)、税率和利率
 1、税率 
(1)纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 
(2)纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。 
(3)应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。 
(4)税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 
(5)应纳税额的计算方法:   应纳税额=总收入×税率  收入额=应纳税额÷税率 
 2、利率 
(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 
(2)储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。 
(3)本金:存入银行的钱叫做本金。 
(4)利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。
 (5)利率:利息与本金的比值叫做利率。 
(6)利息的计算公式:利息=本金×利率×时间    利率=利息÷时间÷本金×100% 
(7)注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则: 
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
  税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略:  
估计费用:根据实际的问题,选择合理的估算策略,进行估算。 
购物策略:根据实际需要,对常见的几种优惠策略加以分析和比较,并能够最终选择最为优惠的方案 
学后反思:做事情运用策略的好处  
三  圆柱和圆锥
一、圆柱  
1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。                     
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。(两种方式:,宽为高;,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大。) 
2、圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的
 3、圆柱的特征: 
(1)底面的特征:圆柱的底面是完全相等的两个圆。 
(2)侧面的特征:圆柱的侧面是一个曲面。 
(3)高的特征  :圆柱有无数条高 
4、圆柱的切割:①横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S 增 =2πr²  
②竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh   
5、圆柱的侧面展开图:
①沿着高展开,展开图形是长方形,如果h=2πr,展开图形为正方形 
②不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形                     
 ③无论怎么展开都得不到梯形
 6、圆柱的相关计算公式:底面积  :S底=πr²        
 底面周长:C底=πd=2πr              
侧面积  :S侧=2πrh      
表面积  :S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh              
 体积    :V柱=πr²h   
考试常见题型:
①已知圆柱的底面积和高,  求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长  
 ②已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积 
 ③已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积 
 ④已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积    
⑤已知圆柱的侧面积和高,  求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积 
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算 
无盖水桶的表面积  =侧面积+一个底面积 
油桶的表面积      =侧面积+两个底面积 
烟囱通风管的表面积=侧面积 
只求侧面积:灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装 
侧面积+一个底面积:玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池 
侧面积+两个底面积:油桶、米桶、罐桶类 
 二、圆锥  
1、圆柱的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的                 
圆锥也可以由扇形卷曲而得到 
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高 
3、圆锥的特征: 
(1)底面的特征:圆锥的底面一个圆。 
(2)侧面的特征:圆锥的侧面是一个曲面。 
(3)高的特征  :圆锥有一条高。
 4、圆柱的切割:
横切:切面是圆  
 ②竖切(过顶点和直径直径):切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的底面直径,面积增加两个等腰三角形的面积, 即S增=2rh 
5、圆锥的相关计算公式:底面积  :S底=πr²                底面周长:C底=πd=2πr         
       体积    :V锥=1/3 πr²h  
考试常见题型:
①已知圆锥的底面积和高,求体积,底面周长
②已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积 
 ③已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积
 以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算 
三、圆柱和圆锥的关系 
1、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍。
2、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。  
3、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。  
 4、圆柱与圆锥等底等高  ,体积相差2/3 Sh 
题型总结  
直接利用公式:
分析清楚求的的是表面积,侧面积、底面积、体积 
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化     
 分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比   
圆柱与圆锥关系的转换:包括削成最大体积的问题(正方体,长方体与圆柱圆锥之间) 
③横截面的问题 
④浸水体积问题:(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容积的底面积乘以上升的高度)容积是圆柱或长方体,正方体 
⑤等体积转换问题:一个圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的问题,注意不要乘以1/3
四、典型题:  
1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形,它的高是底面直径的π倍, 即h=C=πd,它的侧面积是S侧=h² 
2、圆柱的底面半径扩大2倍,高不变,表面积扩大2倍,体积扩大4倍。 
3、圆柱的底面半径扩大2倍,高也扩大2倍,表面积扩大4倍,体积扩大8倍。
4、圆柱的底面半径扩大3倍,高缩小3倍,表面积不变,体积扩大3倍。 
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米,这个圆柱的体积是(  )立方厘米,圆锥的体积是(   )立方厘米 
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,一共4份,题目中说了4份的和一共是48立方厘米。  圆锥占了4份中的1份,圆柱占了4份中的3份 V锥:48÷4=12(立方厘米)  或  48×1/4 =12(立方厘米)  
V柱:48÷4=12(立方厘米)  12×3=36(立方厘米)  或  48×3/4 =36(立方厘米) 
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米,这个圆柱的体积是(    )立方分米,圆锥的体积是(   )立方分米。 
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,1份和3份相差了2份,题目中说了相差24立方分米,2份就是24立方分米 圆锥占了2份中的1份,圆柱占了2份中的3份 
V锥:24÷2=12(立方分米)        或24×1/2 =12(立方分米) 
V柱:24÷2=12(立方分米)  12×3=36(立方分米)  或  24×3/2 =36(立方分米) 
7、一个圆柱和一个圆锥,体积相等,底面积也相等,圆柱的高是2厘米,圆锥的高是(    )厘米。 
       V柱=V锥                                  V柱=V锥 
  S柱底h柱= 1/3 S锥底h锥                  S柱底h柱= 1/3 S锥底h锥 
        h柱= 1/3 h锥                              S柱底= 1/3 S锥底 
           2= 1/3 h锥                                  4 = 1/3 S锥底 
        h锥= 2÷1/3                            S锥底= 4÷1/3  
        h锥=6                                S锥底=12 
8、一个圆柱和一个圆锥体积相等,高也相等,圆柱的底面积是4平方分米,圆锥的底面积是(   )平方分米。 
9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等,体积的比是1:6。,圆柱的高是(    )厘米,,圆锥的高是(
      )厘米。 
1/3 S锥底h锥 1                  1/3 S锥底h锥       1   
      S柱底h柱         6                    S柱底h柱         6  
1/3 h锥 1                     13 h锥           1  
        h柱            6                       h柱            6           
h柱×1 = 13 ×h锥×6                        h柱 = 1/3 ×h锥×6 
 h柱 = 1/3 ××6                   h柱÷1/3 ÷6 = h锥  
 h柱 =                            ÷1/3 ÷6 = h锥  
10、一个圆柱体,把它的高截短3厘米,,这个圆柱的体积
减少了(     )立方厘米。πr² 
C=S侧÷h           r=C÷π÷2           V=πr²h 
 =÷3            =÷÷2         =×5×3 
 =(厘米)          =5(厘米)              =(立方厘米)   
四 比例
1、比的意义 
(1)两个数相除又叫做两个数的比 
(2)“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 
(3)同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。 
(4)比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。 
(5)比的后项不能是零。 
(6)根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。 
2、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。 
3、求比值和化简比:
求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。 
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。 
4、按比例分配: 
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
 5、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数,叫做比例的项。 
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。 
6、比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 
7、比和比例的区别 
(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项)。 
(2)比有基本性质,它是化简比的依据;比例也有基本性质,它是解比例的依据。 
8、成正比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x =k(一定) 
9、成反比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定) 
10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法: 
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例。 
11、比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
 12、比例尺的分类 
(1)数值比例尺和线段比例尺        (2)缩小比例尺和放大比例尺 
13、图上距离:实际距离=比例尺  或    图上距离/实际距离 =比例尺 
实际距离×比例尺=图上距离          图上距离÷比例尺=实际距离
 14、应用比例尺画图的步骤: (1)写出图的名称、 (2)确定比例尺; (3)根据比例尺求出图上距离; (4)画图(画出单位长度) (5)标出实际距离,写清地点名称 (6)标出比例尺 
15、图形的放大与缩小:形状相同,大小不同。
 16、用比例解决问题: 
根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
 17、常见的数量关系式:(成正比例或成反比例) 
单价×数量=总价  单产量×数量=总产量  速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量                
总价/单价 =数量       总产量/单产量 =数量         路程/速度 =时间       工作总量/工作效率 =工作时间
 总价/数量 =单价       总产量/数量 =单产量       路程/时间 =速度       工作总量/工作时间 =工作效率
 18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。 
19、播种的总公顷数一定,每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例? 
答:每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数 
   已知播种的总公顷数一定,就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的,所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。 
20、判断下面各题的两个量是不是成比例,如果成比例,成什么比例? 
(1)订阅《中国少年报》的份数和钱数。 
因为  钱数/订阅《中国少年报》的份数 = 每份的钱数(一定) 
所以,订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。
 (2)三角形的底一定,它的面积和高。              
 因为     三角形的面积/高 =1/2 (一定) 所以,它的面积和高成正比例。 
(3)图上距离一定,实际距离和比例尺。
 因为,实际距离×比例尺=图上距离(一定) 所以,实际距离和比例尺成反比例。 
(4)一条绳子的长度一定,剪去的部分和剩下的部分。 
因为,剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系, 所以,剪去的部分和剩下的部分不成比例。 
(5)圆的面积和它的半径不成正比例,因为圆的面积和它的半径的比值不一定,所以圆的面积和它的半径不成正比例。
 自行车里的数学:  
前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数 
蹬一圈走的路程=车轮周长×(蹬一圈,后轮转动的圈数)
 蹬一圈走的路程=车轮周长×(前齿轮齿数:后齿轮齿数) 
48:28≈  48:24=2     48:20=  48:18≈  48:16=3   48:14≈  
40:28≈  40:24≈  40:20=2   40:18≈  40:16=  40:14≈  
前、后齿轮齿数相差大的,比值就大,这种组合走的就远,因而车速快,但骑车人较费力
 前、后齿轮齿数相差小的,比值就小,这种组合走的就近,因而车速慢,但骑车人较省力 
自行车跑的快慢与两个条件有关:1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小(合理)  
五 数学广角—鸽巢问题
1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用 
①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表 
放法
盒子1
盒子2
1
3
0
2
2
1
3
1
2
4
0
3
 无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。 
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子  
如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信  我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体,把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式  
②利用公式进行解题:      物体个数÷鸽巣个数=商„„余数                                      至少个数=商+1 
 2、摸2个同色球计算方法。  
①要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色数多1。          物体数=颜色数×(至少数-1)+1  
②极端思想: 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球,再无论摸出一个什么颜色的球,都能保证一定有两个球是同色的。  
③公式:  两种颜色:2+1=3(个) 三种颜色:3+1=4(个) 四种颜色:4+1=5(个) 
 常见乘法计算(敏感数字) :25×4=100     125×8=1000 
加法交换律简算例子  加法结合律简算例子   乘法交换律简算例子  乘法结合律简算例子  +2/3 +1/8            23 +14 +           ×33×52          23××16/3  
=7/8 +2/3 +1/8             =2/3 +1/4 +4/5            =2/5 ×33×5/2         =23×3/8 ×16/3  
=7/8 +1/8 +2/3             =2/3 +(1/4 +4/5 )         =2/5 ×2/5 ×33        =23 ×(3/8 ×16/3 ) 
=1+2/3                 =2/3 +1               =1×3             =23×2 
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律     数字换减法式      数字换加法式 
 +2/3 +1/8 +1/3         ×29/7 ×16/3 ×7/29        35×5/36             101×9/10  
=7/8 +2/3 +1/8 +1/3           =3/8 ×29/7 ×16/3 ×7/29         = (36-1) ×5/36       = (100+1) ×9/10
  =7/8 +1/8 + 2/3 +1/3          =3/8 ×16/3 ×29/7 ×7/29         =36×536 -1×536     =100×9/10 +1×9/10 
 = (7/8 +1/8 )+ (2/3 +1/3 )      = (3/8 ×16/3 )×(29/7 ×7/29 )     =5-5/36             =1+9/10
  =1+1                  =2×1                               
乘法分配律提取式   乘法分配律提取式   乘法分配律(添项)    乘法分配律(添项)        
 101×-9/10 ×1      ÷-÷    101×-9/10        52×5/8 +29×5/8 -        
=101×9/10 -9/10 ×1    =(-)÷     =101×9/10 -9/10       =52×5/8 +29×5/8 -5/8           
=101×9/10 -1×9/10     =80÷             =101×910 -1×910    =52×58 +29×58 -1×5/8        
=(101-1) ×910       =800÷16            =(101-1) ×9/10       =(52+29-1)×5/8             
=100×9/10                               =100×9/10           =80×5/8                   
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子  减法的性质简算例子   数字换乘法式
18-58 -          134 -716 -          1225 -(7/16 +)      ×125
 =18-58 -38            =134 -716 -34           =1225 -(716 +2/5 )      =××125 
=18-(58 +38 )         =134 -34 -716           =1225 -25 -7/16         =×(×125) 
=18-1               =1-7/16               =12-7/16              =×100 
除法的性质简算例子  除法的性质简算例子  除法的性质简算例子    数字换乘法式 
3200÷÷      2700÷÷       5900÷(×)       33333×33333
 =3200÷(×)   =2700÷÷      =5900÷÷       =11111×3×33333
 =3200÷1          =1000÷           =1000÷           =11111×99999 
 =11111×(100000-1)
同级运算中,第一个数不能动,后面的数可以带着符号搬家      
 1+2/3 +7/16 -2/3        250÷×          123 -716 +13        29×÷ 
=1+2/3 -2/3 +7/16       =250×÷       =1+2/3 +1/3 -7 / 16       =29÷× 
=1+716           =100÷            =2-7/16            =100× 
解方程方法一:消项(如果消+3,方程两边就同时-3 ;如果消×3,方程两边就同时÷3) 
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一  
 2:如果两边都有 几X , 要先消去其中一边的 几X   (如果有“-几X”,就把“-几X”消去,如果没有“-几X”,就把较小的X消去掉)
 3:消去 “-几”,  消去“÷”   
4:把X这边的数字全部消掉,先消“+ -”    再消“÷”    最后消“×”  (注意:无论解到哪一步,数字+几X  都要写成  几X+数字)     
解方程方法二:移项(+3移到另一边就变成-3,×3移到另一边就变成÷3) 
  1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一  
 2:如果两边都有 几X ,就把其中一边的 几X 移到另一边  (如果有“-几X”,就把“-几X”移到另一边。如果没有“-几X”,就把较小的X移到另一边)
 3:把“-几X”移到另一边,把 “÷X”移到另一边” 
4:把X这边的数字全部移到另一边,先移“+ -”    再移“÷”    最后移“×”  (注意:无论解到哪一步,数字+几X  都要写成  几X+数字)  
长度单位换算                         km    m     dm    cm     mm  
1千米=1000米  1米=10分米  1分米=10厘米   1米=100厘米   1厘米=10毫米 
面积单位换算                         km²    m²    dm²    cm²    mm²
 1平方千米=100公顷   1公顷=10000平方米   1平方米=100平方分米  1平方分米=100平方厘米      
   1平方厘米=100平方毫米    
体(容)积单位换算                 L    mL    m³    dm³    cm³ 
1立方米=1000立方分米    1立方分米=1000立方厘米    1升=1000毫升 1立方米=1