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1、平面的基本性质:
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
说明:公理1是判定直线在平面内的依据,用符号表示为:,以“直线在平面内”的意义为依据,我们常用下面的推理判定“点在平面内”:。简而言之:点在线上,线在面内,则点在面内。
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
说明:公理2是判定两个平面相交的依据,即,进而有。以“两平面相交的意义”为依据,常用下面的推理判定“点在直线上”:。
公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。
联想:公理3及其3个推论,是确定平面的依据,是我们将空间图形问题转化到平面问题来解决的重要前提。在立体几何中,如果我们所研究的点线等能确定是同一平面内的,那么我们就可不加证明地运用平面几何中的定义、公理、定理等,公理3及其3个推论也是证明两平面重合的依据,如:。
斜二测画法——斜二测画法的规则是:(见书本)
说明:画水平放置的直观图时,坐标原点的选取是任意的,但通常取中心对称图形的中心为坐标原点,或者取轴对称图形一边与轴的交点为原点等。
2、空间两条直线
异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间两直线的位置关系有三种:相交直线、平行直线和异面直线。
异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线。
空间四边形:四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形。
三线平行公理(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等。
等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
两条异面直线所成的角的范围:,两条异面直线互相垂直、公垂线和距离的定义。
金点子:(1)证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”,其中“反证法”
最常用;(2)求异面直线所成的角,常用平移转化法,即平移一条(或两条)作出夹角,在解三角形。
3、空间的直线与平面
直线与平面平行的定义、位置关系(在平面内、和平面相交、和平面平行——其中直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外)
直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。用符号表示:
直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行,用符号表示:
直线和平面垂直的定义:
直线和平面垂直的判定定理:定理1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面,用符号表示:
定理2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面,用符号表示:
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,用符号表示:
点到平面的距离、直线到平面的距离、点在平面上的射影、平面的斜线、斜线在平面上的射影等的定义:
垂线段、斜线段、射影的关系定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长(2)相等的斜线段的射影也相等,较长的斜线段的射影也较长(3)垂线段比任何一条斜线段都短。
直线与平面所成的角的范围
最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
三垂线定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
巧思妙想:(1)求直线和平面的距离时,应先找出或作出表示这个距离的线段,并证明,然后再计算,三个步骤缺一不可。做—证—算(2)求线面角时,常根据定义找出斜线与射影所成的角(垂足的位置需确定),然后在斜线、射影构成的直角三角形中求解。(3)三垂线定理及其逆定理的应用:a、证明两条异面直线垂直b、确定二面角的平面角c、确定点到直线的垂线段。
4、空间两个平面
两个平面平行的定义、空间两个平面的位置关系(平行和相交)
两个平面平行的判定定理;定理1如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,用符号表示:
定理2垂直于同一条直线的两个平面平行,即
两个平面平行性质定理:定理1两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
定理2若两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行。
定理3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。
两个平行平面的公垂线、两个平行平面间的距离:
定理4夹在两个平行平面间的平行线段相等。
定理5经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
说明:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度,棱为AB,面为的二面角,记作,若棱用a表示则记作
几种常见的求二面角的平面角的方法:(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,直接构造出二面角的平面角(2)三垂线定理法:利用三垂线定理及逆定理构造平面角(3)作棱垂面法:通过作二面角的棱的垂面构造平面角。
两个平面垂直的判定定理:若一个平面经过另一个平面内的一条垂线,则这两个平面互相垂直,即
两个平面垂直的性质定理:定理1若两个平面垂直,则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即
定理2若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内,即
异面直线上两点间的距离公式:已知两条异面直线a,b所成的角为,它们的公垂线段AA’的长度为d,E、F分别为a、b上的点,且A’E=m,AF=n,
5、空间的直线和平面知识点拨:
规律一:共点、共线、共面问题
证线共点:证线共点,基本途径是先确定两条直线的交点,其次再证其他直线也经过这个点,一般说来,共点的这些直线常常是平面的交线。
证点共线:基本途径是先证这些点均落在两个相交的平面内,再依公理2,它们必落在其交线上。
证点共面、线共面:基本途径有两条:其一是先由某些元素确定一个平面,再证其余元素都在这一平面内;其二是先证这些元素分别在两个或多个平面内,再证这些平面重合。
规律二:证明两直线平行的方法
定义:在同一平面内两条直线无公共点。
公理4若a//c,b//c,则a//b
规律三:判断两条直线是异面直线的方法
依定义采用反证法
异面直线的判定定理
应用异面直线的判定定理时,要注意定理的四个要素。
例正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:AC与BD1是异面直线。
证明:
规律四:三垂线定理的应用
证两条异面直线垂直;求作二面角的平面角。
例在四面体ABCD中,已知ABCD,ACBD,求证:ADBC
分析:要证明ADBC,根据三垂线定理,只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直,因此,可作AO平面BCD于O点,问题即转化为证明ODBC
规律五:线面、面面间的平行和垂直关系
证明直线与平面平行可有下列方法:a、应用线面平行的判定定理与面面平行的性质定理直接推证。b利用反证法证明:假设直线与平面不平行,则直线与平面相交或直线在平面内,通过推导,设法得出矛盾。
证明平面与平面平行可有下列方法:a、应用面面平行的判定定理,把面面平行问题转化为证线面平行或线线平行的问题。b应用“垂直于同一条直线的两个平面平行”,把面面平行问题转化为证线面的垂直问题。
规律六:空间角的解题规律
异面直线所成角的主要方法是通过平移转化法做出异面直线所成角,然后利用三角形边角关系求角的大小。
线与平面所成角的一般过程是:a、通过射影转化法,做出直线与平面所成角。b在三角形中求角的大小。
关于线线角、线面角,下面的两个结论经常用到。A、已知PA与PB分别是平面
的垂线和斜线,在平面内过斜足B任意引一直线BC,设
;B、经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。
求二面角大小的三个步骤:a、找出或做出二面角的平面角(本着先找后做的原则)b、证明其符合定义。C、指出某角即为所求二面角的平面角并计算。
作二面角的平面角,最常用的方法是根据三垂线定理,用三垂线定理作二面角的平面角,关键是作“面的垂线”,一旦做出面的垂线,再作棱的垂线,然后连接两垂足即得。