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基本概念
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题:在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中,变量是________,常量是_________.
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
例题:下列函数(1)y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中,是一次函数的有()
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
例题:下列函数中,自变量x的取值范围是x≥2的是()
====·
函数中自变量x的取值范围是___________.
已知函数,当时,y的取值范围是()
.
5、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
必过点:(0,0)、(1,k)
走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
例题:.正比例函数,当m时,y随x的增大而增大.
若是正比例函数,则b的值是()
.
.函数y=(k-1)x,y随x增大而减小,则k的范围是()
.
,那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x(个)之间的函数关系式是_______________.
平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是30,则y与x的函数关系式是__________.
10、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
(3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题:若关于x的函数是一次函数,则m=,n.
.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是()
将直线y=3x向下平移5个单位,得到直线;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线.
若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
已知函数y=3x+1,当自变量增加m时,相应的函数值增加()
+-1
11、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
若m<0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过()
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两直线平行:k1=k2且b1b2
(2)两直线相交:k1k2
(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
17、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
一次函数
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b(k为任意不为零实数,b为任意实数)
则此时称y是x的一次函数。
特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为任意不为零实数)
定义域:自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际有意义。
一次函数的图象特征和性质:
b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
一次函数的性质
,比值为k
即:y=kx+b(k≠0)(k为任意不为零的实数b取任何实数)
=0时,b为函数在y轴上的截距。
=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角)
形。取。象。交。减
一次函数的图像及性质
:通过如下3个步骤
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线];
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
,b与函数图像所在象限:
y=kx时
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
确定一次函数的表达式
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
一次函数在生活中的应用
,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
常用公式(不全,希望有人补充)
:(y1-y2)/(x1-x2)
:|x1-x2|/2
:|y1-y2|/2
:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
:解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0,则分子为0)
kb
++在一、二、三象限
+-在一、三、四象限
-+在一、二、四象限
--在二、三、四象限
=k1x+b1‖y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1
应用
一次函数y=kx+b的性质是:(1)当k>0时,y随x的增大而增大;(2)当k<0时,y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。
一、确定字母系数的取值范围
,则当m=______________时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得且m<0,即且,所以。
二、比较x值或y值的大小
(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是()
><=
解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()
解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。:
,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,,,求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg),求自变量x的取值范围.
分析:此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题,同时也是实际问题,其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和,而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解:由题意设所求函数为y=kx+12
=3k+12,得k=
∴所求函数解析式为y=+12
由23=+12得:x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
【考点指要】
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点,、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起,以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中,、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤。
解:(1)若k>0,则可以列方程组-2k+b=-11
6k+b=9
解得k==-6,则此时的函数关系式为y=—6
(2)若k<0,则可以列方程组-2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-=4,则此时的函数解析式为y=-+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解,若k>0,则y随x的增大而增大;若k<0,则y随x的增大而减小。
一次函数解析式的几种类型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
(k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0)
③y-y1=k(x-x1)[点斜式]
(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)
④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]
((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点)
⑤x/a-y/b=0[截距式]
(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)
解析式表达局限性:
①所需条件较多(3个);
②、③不能表达没有斜率的直线(平行于x轴的直线);
④参数较多,计算过于烦琐;
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角:x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tg(a)
形如y=kx(k为常数,且k不等于0),y就叫做x的正比例函数.
正比例函数属于一次函数,正比例函数是一次函数的特殊形式.
即当一次函数y=kx+b若b=0,则此为正比例函数.
图像做法
(一定要经过坐标轴的原点)
其次,正比例函数的图像是经过原点和(1,k)[或(2,2k),(3,3k)等]两点的一条直线。
其他:当k>0时,它的图像(除原点外)在第一、三象限,y随x的增大而增大
当k<0时,它的图像(除原点外)在第二、四象限,y随x的增大而减小
总结:y=kx(k不等于0)
而以方程的角度来说,只要将正比例函数上的一个点的坐标给出,就能确定这个解析式
若求正比例函数与一次函数,二次函数或反比例函数的交点坐标,就是将两个已知的方程联立成方程组
求出其x,y值便可
正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的
比如斜率问题就取决于K值,当K越大,则该函数图像与x轴的夹角越大,反之亦然
还有,Y=Kx是Y=K/x图像的对称轴.
1)正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系.①用字母表示:如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,(一定)正比例关系可以用以下关系式表示:
②正比例关系两种相关联的量的变化规律:对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大,同时缩小,:汽车每小时行驶的速度一定,所行的路程和所用的时间是否成正比例?
以上各种商都是一定的,,:在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量,虽然也是一种量,随着另一种的变化而变化,但它们相对应的两个数的比值不一定,:一个人的年龄和它的体重,就不能成正比例关系,正方形的边长和它的面积也不成正比例关系.
黄金分割点
把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数,用分数表示为(√5-1)/2,。由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点。