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一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
2、正比例函数图象和性质
一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和(1,k)的一条直线,我们称它为直线y=>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即随着x的增大,y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.
3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k,其基本步骤是:
(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0);
(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于系数k的一元一次方程;
(3)解方程,求出待定系数k;
(4)将求得的待定系数的值代回解析式.
4、一次函数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
5、一次函数的图象
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过(0,b)和两点的一条直线,因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
(2)一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
6、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
7、直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示:
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
8、直线y1=kx+b与y2=kx图象的位置关系:
(1)当b>0时,将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位,就得到y1=kx+b的图象.
(2)当b<0时,将y2=kx图象向x轴下方平移-b个单位,就得到了y1=kx+b的图象.
9、直线l1:y1=k1x+b1与l2:y2=k2x+b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定:
当k1≠k2时,l1与l2相交,交点是(0,b).
10、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);
(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为(,0)与y轴交点坐标为(0,b).
11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
12、利用图象解题
通过函数图象获取信息,并利用所获取的信息解决简单的实际问题.
13、经营决策问题
函数建模的关键是将实际问题数学化,从而解决最佳方案,,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再寻求出两个变量之间的关系,构建函数模型,从而利用数学知识解决实际问题.
二、重难点知识归纳
1、一次函数的定义、图象和性质.
2、一次函数的实际应用.
3、待定系数法.
三、典型例题剖析
例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限,则( )
<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小
,y不变
分析:
根据正比例函数的性质可知,当k<0时,图象过第二、四象限,y随x的增大而减小,故选A.
答案:A
例2(1)若函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,则k的值为( )
C.±1 D.-1
(2)已知是正比例函数,且y随x的增大而减小,则m的值为_____________.
(3)当m=_______时,函数是一次函数.
分析:
(1)要使函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,k需满足条件
(2)根据正比例函数的定义和性质,是正比例函数且y随x的增大而减小的条件是:
(3)根据一次函数解析式的特征可知:x的次数2m-1为1时,合并同类项后,一次项系数[(m+3)+4]不能为0;x的次数2m-1不为1时,这项就应是0,否则不符合一次函数的条件.
解:
(1)由于y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,
∴,∴k=1,∴应选B.
(2)是正比例函数的条件是:m2-3=1且2m-1≠0,要使y随x的增大而减小还应满足条件2m-1<0,综合这两个条件得当即m=-2时,是正比例函数且y随x的增大而减小.
(3)根据一次函数的定义可知,是一次函数的条件是:
解得m=1或-3,故填1或-3.
例3、两个一次函数y1=mx+n,y2=nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是图中的( )
分析:
若m>0,n>0,则两函数图象都应经过第一、二、三象限,故A、C错,若m<0,n>0,则y1=mx+n的图象函数过第一、二、四象限,而函数y2=nx+m的图象过第一、三、四象限,>0,n<0,y1=mx+n的图象过第一、三、四象限,函数y2=nx+m的图象过第一、二、四象限,故选B.
答案:B
例4、列说法是否正确,为什么?
(1)直线y=3x+1与y=-3x+1平行;
(2)直线重合;
(3)直线y=-x-3与y=-x平行;
(4)直线相交.
分析:
判定两条直线的位置关系,关键是判断两个函数解析式中的比例系数和常数项之间的关系.
解:
(1)该说法不正确,∵k1≠k2,∴两直线相交;
(2)该说法不正确,∵k1=k2,但b1≠b2,∴两直线平行;
(3)该说法正确,∵k1=k2,b1≠b2,∴两直线平行;
(4)该说法不正确,∵k1=k2,b1=b2,∴两直线重合.
例5、如果直线y=kx+b经过第一、三、四象限,那么直线y=-bx+k经过第__________象限.
分析:
因为直线y=kx+b经过第一、三、四象限,由一次函数图象的分布情况可知k>0,b<0,由此可知直线y=-bx+k中-b>0,k>0,故其图象经过一、二、三象限.
答案:一、二、三
例6、直线y=kx+b过点A(-2,0),且与y轴交于点B,直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,求直线y=kx+b的解析式.
分析:
由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,求得点B(0,3)或(0,-3),此题直线与y轴交于B点有两种不同情况,.
解:
设点B的坐标为(0,y),则|OA|=2,|OB|=|y|,有
S=·|OA|·|OB|=×2×|y|=3.
所以y=±(0,3)或(0,-3).
(1)当直线y=kx+b过点A(-2,0)和点B(0,3)时,
所以y=+3.
(2)当直线y=kx+b过点A(-2,0),B(0,-3)时,
所以y=-3.
因此直线解析式为y=+3或y=-3.
例7、如图所示,阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题:
(1)折线OAB表示某个实际问题的函数的图象,请你编写一道符合图象意义的应用题;
(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义,并写出A、B两点的坐标;
(3)求出图象AB的函数解析式,并注明自变量x的取值范围.
分析:
这道题的难点主要集中在第(1)小题,它要求同学们自己设计一个情境,把一个数学模型还原成一个实际问题,主要考查同学们的创造性思维能力、逆向思维能力,发散思维能力和语言表达能力,给同学们留下了很大的想象空间,是一道有创意的好题.
解:
本题为开放题,现举一例如下:小明从家骑车去离家800米的学校,用了5分钟,之后又立即用了10分钟步行回到家中,此时x轴表示时间,y轴表示离家的距离,A(5,800),B(15,0).图象AB的解析式为y=-80x+1200(5≤x≤15).
例8、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机,已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元,一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元,(利润=销售价-进价).
为了增加利润,二月份营销人员提供了两套销售策略:
策略一:A种每台降价100元,B种每台降价80元,估计销售量分别增长30%、40%.
策略二:A种每台降价150元,B种每台降价80元,估计销售量都增长50%.
请你研究以下问题:
(1)若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台,写出y与x的关系式,并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少?
(2)二月份这两种策略是否能增加利润?
(3)二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种,方能使商店所获得的利润较多?请说明理由.
分析:
(1)中根据月利润可列出关于x、y的方程,由x、y为整数,求出A种彩电销售的台数的最大值;(2)中写出策略一、策略二的利润与x、y的关系,再和12000元比较,即可得出结论.
解:
(1)依题意,有
(2700-2000)x+(2100-1600)y=12000,
即700x+500y=12000.
则
因为y为整数,所以x为5的倍数,
故x的最大值为15,即A种彩电销售的台数最多可能为15台.
(2)策略一:
利润W1=(2700-100-2000)(1+30%)x+(2100-80-1600)(1+40%)y
=780x+588y;
策略二:
利润W2=(2700-150-2000)(1+50%)x+(2100-80-1600)(1+50%)y
=825x+630y.
因为700x+500y=12000,所以780x+588y>12000,825x+630y>12000.
故策略一、策略二均能增加利润.
故策略二使该商店获得的利润多,应采用策略二.