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相似三角形
(1)比例的基本性质:
(2)反比性质:
(3)更比性质:或
(4)合比性质:
(5)等比性质:且
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
(1)重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍;
(2)重心的画法:两条中线的交点.
3、黄金分割
是指把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2=AB·BC),C点为黄金分割点.
4、相似三角形判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
②如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;
③如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;
④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等,那么这两个直角三角形相似.
(5)相似三角形应用举例
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用,可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题,加深学生对相似三角形的理解和认识.
一元二次方程
:a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数****题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
:一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.
:当ax2+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b2-:
Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根;Δ<0<=>无实根;
--------应用题的类型题之一(设增长率为x):
(1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程:第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
旋转
1、概念:
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
旋转三要素:旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质:
旋转前后的两个图形是全等形;
两个对应点到旋转中心的距离相等
两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3、中心对称:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
4、中心对称的性质:
(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
5、中心对称图形:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,
即点P(x,y)关于原点O的对称点P′(-x,-y).
圆
1、(要求深刻理解、熟练运用)
:
如图:有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,
即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例:
∵CD过圆心
∵CD⊥AB
3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中)
“等角对等弦”;“等弦对等角”;
“等角对等弧”;“等弧对等角”;
“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;
“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例:
(1)∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
(2)∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
(3)……………
:
(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图)
(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;
(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图)
(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵∠ACB=∠AOB
∴……………
(2)∵AB是直径
∴∠ACB=90°
(3)∵∠ACB=90°
∴AB是直径
(4)∵CD=AD=BD
(1)(2)(3)(4)
∴ΔABC是RtΔ
:
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外
角都等于它的内对角.
几何表达式举例:
∵ABCD是圆内接四边形
∴∠CDE=∠ABC
∠C+∠A=180°
:
如图:有三个元素,“知二可推一”;
需记忆其中四个定理.
(1)经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线;
(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;
几何表达式举例:
(1)∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
(2)∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
:
(1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等;
(2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
(1)(2)
几何表达式举例:
(1)∵PA·PB=PC·PD
∴………
(2)∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
:
(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;
(2)如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.
(1)(2)
几何表达式举例:
(1)∵O1,O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
(2)∵⊙1、⊙2相切
∴O1、A、O2三点一线
:
(1)中心角an,半径RN,边心距rn,
边长an,内角bn,边数n;
(2)有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例:
(1)an=;
(2)
二定理:
.
,这两个圆是同心圆.
.
三公式:
:
(1)圆的周长C=2πR;(2)弧长L=;(3)圆的面积S=πR2.
(4)扇形面积S扇形=;
(5)弓形面积S弓形=扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.(如图)
:
(1)圆柱的侧面积:S圆柱侧=2πrh;(r:底面半径;h:圆柱高)
(2)圆锥的侧面积:S圆锥侧==πrR.(L=2πr,R是圆锥母线长;r是底面半径)
四常识:
.
.
Û两边中垂线的交点Û三角形的外接圆的圆心;
三角形的内心Û两内角平分线的交点Û三角形的内切圆的圆心.
:(其中d表示圆心到直线的距离;其中r表示圆的半径)
直线与圆相交Ûd<r;直线与圆相切Ûd=r;直线与圆相离Ûd>r.
证直线与圆相切,常利用:“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
三角函数
、余弦、正切的定义
如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,如果锐角A确定:
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即;
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即.
函数值的取值范围是0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.
:
余角三角函数关系:“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,
那么:sinA=cosB;cosA=sinB;
同角三角函数关系:sin2A+cos2A=1;tanA=
°、45°、60°角的三角函数值
∠A
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
4、解直角三角形
角角关系:两锐角互余,即∠A+∠B=90°;
边边关系:勾股定理,即;
边角关系:锐角三角函数,即
二次函数
1、二次函数的定义
一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
2、二次函数的图象与性质
,可分为以下几种形式:
①;②;③;④,
其中;⑤.(以上式子a≠0)
几种特殊的二次函数的图象特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()
:
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合),轴记作直线.
,的作用:
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2),
故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,则.
:
(1)一般式:(a≠0).已知图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:(a≠0).已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”:已知图象与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
(a≠0).(由此得根与系数的关系:).
3、二次函数与一元二次方程的关系
函数,当时,得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点,这时,则方程有两个不相等实根;
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点,这时,则方程有两个相等实根;
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点,这时,则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系:
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
4、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题,要建立数学模型,即把实际问题转化为二次函数问题,利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系,建立函数关系式,.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是:
(1)建立适当的平面直角坐标系;
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式;
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.