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本节内容提要
1、分析提高有限元法求解精度的途径
2、简要回顾三节点三角形单元有限元分析过程
3、全面介绍四节点矩形单元有限元分析过程
4、总结
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分析提高有限元求解精度的途径
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一、三节点三角形单元的缺点
三节点三角形单元精度低,收敛慢,由于单元内应力和应变均为常量,故在单元内不能很好地反映应力和应变的变化。
该单元只有三个节点,单元自由度少,单元位移插值函数(位移模式)只能是线性函数,描述单元内位移变化的能力差。
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分析提高有限元求解精度的途径
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二、提高有限元求解精度的途径
第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格划分加密,依靠单元的收敛性提高求解精度。
第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸,采用高精度单元来提高求解精度。
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分析提高有限元求解精度的途径
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三、建立高精度单元的原理和途径
原理:提高单元位移插值函数多项式的阶次,从而提单元拟合局部区域位移、应力变化的能力。
途径:增加单元的节点数目。
对于平面有限元问题,除三节点三角形单元外,还可以考虑六节点三角形单元和四节点矩形单元。
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三节点三角形单元有限元分析过程
设位移函数
求位移函数中的未知量
代入函数中
整理可得形函数
(性质?)
几何方程求解应变(几何矩阵)
物理方程求解应力
(弹性矩阵应力矩阵)
运用虚功原理求解
由合成(方法?)
建立节点荷载列阵(方法?
处理位移约束条件(方法?)
组成?)
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四节点矩形单元有限元分析过程
一、四节点矩形单元位移函数
单元节点编号为k,l,m,n(逆时针)
单元节点位移列阵为:
设位移函数为:
或写为:
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四节点矩形单元有限元分析过程
二、求解位移函数中的未知系数
将节点坐标
代入函数中,并写成矩阵形式:
解上述方程组可得:
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四节点矩形单元有限元分析过程
三、将所求值代入位移函数中
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四节点矩形单元有限元分析过程
四、整理位移函数可得形函数
展开上式可得:
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四节点矩形单元有限元分析过程
其中,形函数为:
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