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《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:表示椭圆;表示线段;没有轨迹;
(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
标准方程
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶点
对称轴
轴,轴;短轴为,长轴为
焦点
焦距
离心率
(离心率越大,椭圆越扁)
通径
(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)
:(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长=
(2)设椭圆左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是
二、双曲线:
(1)双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:与()表示双曲线的一支。
表示两条射线;没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
标准方程
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
y
x
O
F1
P
B2
B1
F2
顶点
对称轴
轴,轴;虚轴为,实轴为
焦点
焦距
离心率
(离心率越大,开口越大)
渐近线
通径
(3)双曲线的渐近线:
①求双曲线的渐近线,可令其右边的1为0,即得,因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是;
(4)等轴双曲线为,其离心率为
(4)常用结论:(1)双曲线的两个焦点为,过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长=
(2)设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点,则的坐标分别是
三、抛物线:
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。
(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:
焦点在轴上,
焦点在轴上,
焦点在轴上,
焦点在轴上,
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
标准方程
图形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
离心率
准线
通径
焦半径
焦点弦
焦准距
四、弦长公式:
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数
五、弦的中点坐标的求法
法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出;(3)设中点,由中点坐标公式得;再把代入直线方程求出。
法(二):用点差法,设,,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。
六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e(求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题:
1.(2011·辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为()
.
答案:C
2.(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为
n,则()
==1
=≥3
答案:C
3.(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=()
.
C.-D.-
答案:D
4.(2011·浙江)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,,则()
==13
==2
答案:C
5.(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2,若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线的离心率等于()
答案:A
6.(2011·邹城一中5月模拟)设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),且|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为()
.+1
.+1
答案:D
二、填空题:
7.(2011·江西)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
答案:+=1
8.(2011·课标)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________.
答案:+=1
9.(2011·浙江)设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是____________.
答案:(0,±1)
10.(2011·全国)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的角平分线,则|AF2|=________.
答案:6
三、解答题:
11.(12分)(2011·江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M、N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
解:(1)e==.
(2)λ=0或λ=-4.
12.(13分)(2011·辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
(1)设e=,求|BC|与|AD|的比值;
(2)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.
解:(1)|BC|:|AD|=.
(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等时成立
基础巩固题目椭圆、双曲线、抛物线
(2)双曲线的实轴长是
(A)2(B)(C)4(D)4
【解析】选C.
(5)在极坐标系中,点到圆的圆心的距离为
(A)2(B)(C)(D)
【解析】选D.
(21)(本小题满分13分)
设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经
过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足
,求点的轨迹方程。
解:点P的轨迹方程为
(3)双曲线的实轴长是
(A)2(B)(C)4(D)4
【解析】选C.
(4)若直线过圆的圆心,则a的值为
(A)1(B)1(C)3(D)3
【解析】.
(17)(本小题满分13分)
设直线
(I)证明与相交;
(II)证明与的交点在椭圆
证明:(I)反证法
,圆的圆心的极坐标是
A. B. C. D.
【解析】:,选B。
:,过点(m,0)作圆的切线l交椭圆G于A,B两点。
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将表示为m的函数,并求的最大值。
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.
(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x的图像上,则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为A