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【第一节整式】
一、整式的有关概念:
(1)单项式的定义:,78n2,13a2h等,都是数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式.
注:①单独一个数与一个字母也是单项式.
②形如x+12形式的代数式不是单项式.
(2)单项式的次数:一个单项式中,:单独一个数的次数是0次.
(3)多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式.
注:①多项式概念中的和指代数和,即省略了加号的和的形式.
②多项式中不含字母的项叫做常数项.
(4)多项式的次数:一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
(5)整式的概念:单项式和多项式统称为整式.
二、定义的补充:
(1)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
注:①单个字母的系数为1;
②单项式的系数包括符号.
(2)多项式的项数:多项式中单项式的个数叫做多项式的项数.
【第二节整式的加减】
一、整式加减运算的一般步骤:
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,.
说明:(1)去括号是要依据去括号法则,特别是括号前是“-”时更应注意,合并同类项依据合并同类项法则,不要漏项
.
(2)整式加减后的次数比原整式的次数小或不变.
二、整式的化简求值:
给出整式中字母的值时,应将原式先化简,再代入所给字母的值,化简的过程就是去括号合并同类项的过程.
说明:化简基本运用分配律、去括号和合并同类项,有时反复运用,有时也要“整体”合并同类项.
【第三节同底数幂的乘法】
一、同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
即am∙an=am+n(m,n都是正整数).
说明:(1)使用公式时,底数必须相同,底数不同的几个幂相乘,不能运用此法则,如32×23≠32+3≠22+3.
(2)此公式可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘,例如:am∙an∙ap=am+n+p(m,n,p为正整数).
二、同底数幂的乘法法则的逆用
am+n=am∙an(m,n都是正整数).
说明:同底数幂的乘法法则的逆用可以有多种表达形式,一定要灵活运用.
如:37=32×35=31×36=33×34等.
【第四节幂的乘方与积的乘方】
乘法法则:(am)n=amn(m,n都是正整数),即幂的乘方,底数不变,指数相乘.
说明:(1)乘方公式可以推广,如[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数).
(2)公式中底数可以是单项式,也可以是多项式.
(3)幂的乘方运算法则可以逆用.
乘方法则:(ab)m=an∙am(m为正整数),即积的乘方等于每一个因式乘方的积.
说明:(1)三个或三个以上因式的积的乘方也具有这样的性质,如(abc)n=anbncn(n为正整数).
(2)公式中底数可以是单项式,也可以是多项式.
(3)注意积的乘方是把积的每一个因式分别乘方,不能漏项,并且积的乘方运算法则同样可以逆用.
【第五节同底数幂的除法】
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).
说明:(1)底数a不能为0,若a为0,则除数为0,除法就没有意义了.
(2)公式成立的条件“a≠0,m,n都是正整数,并且m>n”是此法则的一部分,不要漏掉.
(3)公式中的a可以是数,也可以是整式,如(a-3b)5÷(a-3b)2=(a-3b)5-2=(a-3b)3.
(4)该除法法则可以推广到三个或三个以上的情况,如ma÷mb÷mc=ma-b-c(m≠0,a,b,c为正整数,且a>b+c).
(5)单独一个字母,某指数为1,而不是0.
零指数幂:a0=1(a≠0),即任何不等于0的数0次幂都等于1.
说明:①a0不能理解成0个a相乘.
②a0=1(a≠0)只是一种规定,规定的合理性可运用乘除法的逆运算关系来说明:am∙a0=am+0=am,所以a0=am÷am=1a≠0,m为正整数.
③指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂以后,同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则仍然适用.
④零的零次幂无意义,当底数的值不确定时,要注意讨论.
负整数指数幂:a-p=1ap(a≠0,p为正整数).
说明:①a-p=1ap必须满足a≠0,零的负整数指数幂是无意义的.
②同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则对负整数指数幂仍然适用.
【第六节整式的乘法】
一、单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
2、系数相乘时,注意符号.
3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加.
4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式.
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式.
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用.
二、单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则:单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,:m(a+b+c)=ma+mb+mc.
2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号.
3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同.
4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果.
三、多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
2、多项式与多项式相乘,,要按一定的顺序进行,,积的项数等于两个多项式项数的积.
3、多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负
”.
4、运算结果中有同类项的要合并同类项.
5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
【第七节平方差公式】
1、(a+b)(a-b)=a2-b2,即:两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差.
2、平方差公式中的a、b可以是单项式,也可以是多项式.
3、平方差公式可以逆用,即:a2-b2=(a+b)(a-b).
4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成
(a+b)•(a-b)的形式,然后看a2与b2是否容易计算.
【第八节完全平方公式】
1、即:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
2、公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
3、掌握理解完全平方公式的变形公式:
(1)
(2)
(3)
4、完全平方式:我们把形如:的二次三项式称作完全平方式.
5、当计算较大数的平方时,利用完全平方公式可以简化数的运算.
6、完全平方公式可以逆用,即:
【第九节整式的除法】
一、单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则:一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑.
二、多项式除以单项式的法则
1、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,:
2、多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号.
第二章平行线与相交线
【第一节余角与补角】
1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角.
2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角.
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关.
4、余角和补角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为:
(1)则(同角的余角(或补角)相等).
(2)且则(等角的余角(或补角)相等).
6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法.
7、对顶角
(1)两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角.
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.
(3)对顶角的性质:对顶角相等.
(4)对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁.
(5)对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角.
【第二节探索直线平行的条件】
一、同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截,形成了8个角.
2、同位角:两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角.
3、内错角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角.
4、同旁内角:两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角.
5、这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小关系.
二、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的.
2、余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关.
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关.
4、对顶角既有数量关系,又有位置关系.
三、平行线的判定方法
1、同位角相等,两直线平行.
2、内错角相等,两直线平行.
3、同旁内角互补,两直线平行.
4、在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行.
5、在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行.
【第三节平行线的特征】
1、两直线平行,同位角相等.
2、两直线平行,内错角相等.
3、两直线平行,同旁内角互补.
【第四节用尺规作线段和角】
1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图.
3、尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长.
4、尺规作图中圆规的功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧;
第三章生活中的数据
:对任意一个正数可能写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是整数,这种记数的方法称为科学记数法.
,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位;对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字都叫做这个数的有效数字
.
:①设定目标;②收集数据;③整理数据;④表达与描述数据;⑤分析结果.
第四章概率
一、事件发生的可能性:
人们通常用1(或100)来表示必然事件发生的可能性,用0来表示不可能事件发生的可能性.
二、游戏是否公平:
游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同.
三、摸到红球的概率:
1、概率的意义
P(摸到红球)=摸到红球可能出现的结果数摸出一球可能出现的结果数
2、确定事件和不确定事件的概率:
(1)必然事件发生的概率为1记作P(必然事件)=1
(2)不可能事件发生的概率为0,P(不可能事件)=0
(3)如果A为不确定事件 ,那么0<P(A)<1
3、概率的求法:
一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m个结果,那么事件A发生的概率为PA=mn.
第五章三角形
【第一节认识三角形】
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号
“Δ”表示.
2、顶点是A、B、C的三角形,记作“ΔABC”,读作“三角形ABC”.
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c来表示,顶点A所对的边BC用a表示,边AC、AB分别用b,c来表示;
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角.
二、三角形中三边的关系
1、三边关系:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a;a-b<c,a-c<b,b-c<a.
2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形:
(1)当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时,能组成三角形;
(2)当两条较短线段之和大于最长线段时,则可以组成三角形.
3、确定第三边(未知边)的取值范围时,它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和,即.
三、三角形中三角的关系
1、三角形内角和定理:三角形的三个内角的和等于1800.
2、三角形按内角的大小可分为三类:
(1)锐角三角形,即三角形的三个内角都是锐角的三角形;
(2)直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边,夹直角的两边称为直角三角形的直角边.
注:直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.
(3)钝角三角形,即有一个内角是钝角的三角形.
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.
5、任意一个三角形都具备六个元素,.