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有理数
正数:比0大的数是正数;
负数:比0小的数是负数;
0既不是正数也不是负数。
有理数包括整数和分数;整数包括正整数、0和负整数;分数包括正分数和负分数。
数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴,它包括三个方面:
数轴的三要素:原点、正方向和单位长度,缺一不可。
数轴是一条直线,可以向两边无限延伸。
原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定都是根据需要“规定”的。
数轴的画法
画:画一条水平直线。
取:在直线上选取一点为原点,并在原点的下面标上“0”。
定:确定正方向,画上箭头(向右为正)。
选:根据需要选取适当的长度作为单位长度。根据需要从原点右向左选取各点。
数轴上的点与有理数的关系
任何一个有理数都可以数轴的一个点来表示。
正数可以用原点右边的点表示,负数可以用原点左边的点表示,0用原点表示。
数轴上的点右边的点总比左边的点表示的数大(右边为数轴正方向)。
最小的正整数是“1”;最大的负正数是“-1”;没有最大的正整数,也没有最小的负整数。
绝对值的概念
绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“│a│”。
绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
也就是说:如果a>0那么│a│=a;如果a<0那么│a│=-a;如果a=0那么│a│=0
3)绝对值的非负性:任何一个有理数的绝对值都不可能是一个负数,即非负数。│a│≥0
4)要求一个数(或一个代数式)的绝对值,首先应判断这个数(或这个代数式的值)是正数、0,还是负数。再根据绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的形式。
如:是正数,就等于它的本身;是负数,就等于它的相反数。是0,就等于0。
5)0是绝对值最小的有理数;绝对值等于同一正数的有理数有两个,它们互为相反数。
10、相反数的概念
1)几何意义:在数轴上原点的两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的数,就是相反数。
2)代数意义:只有符号不同的两个数,我们说其中一个数就另一个数的相反数。
3)0的相反数是0本身。
4)相反数的表示法:a的相反数是-a 这里的a表示任意一个数,可以是正数、负数和0
还可以是任意一个代数式子。
5)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0
6)两个互为相反数的数的绝对值相等。反过来,绝对值相对的两个数相等或互为相反数。
11、两个负数,比较大小时,绝对值大的反而小。
12、有理数的加法法则
1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2)异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
3)一个数同0相加,仍是这个数。
法则中,都是先判断符号,再计算绝对值,应当牢记:“先符号,后绝对值”
13、利用加法的运算律常用的简便方法:
1)同号结合法:先把所有正数相加,所有负数相加,再把两者结果相加。
2)凑整结合法:先把某些加数结合凑为整数再相加;
3)相反数结合法:先把互为相反数的数结合起来相加;
4)同分母结合法:遇有分数,先把同分母分数结合起来相加。
14、有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
15、有理数乘法法则:
1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
2)任何数与0相乘,都得0。
3)多个因数相乘时,符号根据负因数的个数确定,奇数个数时为负,偶数个数时为正。
4)多个因数相乘时,如果有一因数为0,那么积就等于0,反之,如果积等于0,那么至少有一因数为0。
16、有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数(0不能作除数)
17、有理数乘方的意义:
1)求几个相同因数积运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
2)在an中,a是底数,n是指数,an读作a的n次方。
3)乘方是一种运算,是一种特殊的乘法运算,(因数相同的乘法运算),幂是乘方运算的结果。
乘方符号法则:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
任何数的偶次幂都是非负数;
我们尝过的非负数有:绝对值和一个数的偶次幂
4)1的任何次幂都是1,-1的偶次幂是1,-1的奇次幂是-1.
18、我们到目前为止,学了五种运算方法:加法、减法、乘法、除法和乘方。
19、有理数混合运算顺序
先乘方,再乘除,最后加减,如果有括号,先进行括号内的运算。
有理数混合运算的关键是熟练掌握加、减、乘、除和乘方的运算法则、运算律及运算顺序。一般可先根据加减号,把算式分成几段。
用字母表示数
代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数或者字母也是代数式。
单项式:由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式,而分母含有未知数的式子是分式。例如,1/x不是单项式。
单独的一个数字或字母也是单项式。例如,1和x^2y也是单项式。如果一个单项式,只含有字母因数,如果是正数的单项式系数为1,如果是负数的单项式系数为-1.
单项式书写规则:数与字母相乘时,数在字母前;乘号可以省略为点或不写;除法的式子可以写成分数式;带分数与字母相乘,带分数要化为假分数
多项式:若干个单项式的和组成的式子叫做多项式(减法中有:减一个数等于加上它的相反数)。多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数。
整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。
同类项:所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。
合并同类项:多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项,合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。
去、添括号法则
括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。(改成与原来相反的符号)
若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号
遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,"-"的个数.
一元一次方程
1、只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程,通常形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)。