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第一章数学与我们同行
第二章有理数
以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数,像-154,-,-,-%
以前学过的0以外的数叫做正数,,100,357,78
数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界。
在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义
正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。
我们把能够写成分数形式的数叫做有理数。
整数和分数统称有理数。
有限小数和循环小数都可以化为分数,它们都是有理数。
无限不循环小数叫做无理数
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用:所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可。
⑵同一根数轴,单位长度不能改变。
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大
正数都大于0;负数都小于0;正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小。
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。
数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
两个正数,绝对值大的正数大;两个负数,绝对值大的负数小。
符号不同、绝对值相同的两个数叫做互为相反数,其中一个数叫做另一个数的相反数。
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数。
有理数的加法法则:
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
⑵异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
⑶一个数同0相加,仍得这个数。
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
加法交换律:a+b=b+a
三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
有理数的减法可以转化为加法来进行。
有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
有理数乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
0和任何数相乘,都得0。
乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数。
几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数。
交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。
ab=ba
结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。
(ab)c=a(bc)
分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
数字与字母相乘的书写规范:
⑴数字与字母相乘,乘号要省略,或用“”
⑵数字与字母相乘,当系数是1或-1时,1要省略不写。
⑶带分数与字母相乘,带分数应当化成假分数。
用字母x表示任意一个有理数,2与x的乘积记为2x,3与x的乘积记为3x,则式子2x+3x是2x与3x的和,2x与3x叫做这个式子的项,2和3分别是着两项的系数。
一般地,合并含有相同字母因数的式子时,只需将它们的系数合并,所得结果作为系数,再乘字母因数,即
ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因数,a与b分别是ax与bx这两项的系数。
去括号法则:
括号前是“+”,把括号和括号前的“+”去掉,括号里各项都不改变符号。
括号前是“-”,把括号和括号前的“-”去掉,括号里各项都改变符号。
括号外的因数是正数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
有理数除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
两个不等于0的数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
因为有理数的除法可以化为乘法,所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
求相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在中,a叫做底数,n叫做指数,当看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂。
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
特别的,一个数的二次方,也称为这个数的平方;一个数的三次方,也称为这个数的立方。
把一个大于10的数表示成的形式(其中,n是正整数),这种记法称为科学记数法。
用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1。
有理数的混合运算的顺序:
⑴先乘方,再乘除,最后加减;
⑵同级运算,从左到右进行;
⑶如有括号,先做括号内的运算(按小括号、中括号、大括号依次进行)
代数式
像a-1,a+6,(n-20),,这样的式子都是代数式
单独一个数或一个字母也是代数式
单项式和多项式统称为整式。
根据问题的需要,用具体数值代替代数式中的字母,计算所得的结果叫做代数式的值。
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。(合并同类项法则)
去括号法则
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项的符号不改变。
括号前面是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项的符号改变。
进行整式的加减运算时,如果有括号先去括号,再合并同类项。
第四章一元一次方程
含有未知数的等式叫做方程。
只含有一个未知数(元),未知数的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是数学解决实际问题的一种方法。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。
能是方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
等式两边都乘以或除以同一个不等于0的数,所得结果仍是等式。
方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项
一般地,解一元一次方程的步骤是:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x=a的形式。
第五章走进图形世界
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形,叫做几何图形。
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体
几何图形由点、线、面组成。
长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱锥也是常见的立体图形。
长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
点动成线,线动成面,面动成体。
许多立体图形是由一些平面图形围成的,将它们适当地剪开,就可以展开成平面图形。
、左视图、俯视图
主视图:从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
第六章
、射线、直线
经过两点有一条直线,并且只有一条直线。
两点确定一条直线。
点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
两点的所有连线中,线段最短。简单说成:两点之间,线段最短。
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分,每一份就是一度的角,记作1;把1度的角60等分,每份叫做1分的角,记作1;把1分的角60等分,每份叫做1秒的角,记作1。
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。类似的,还有角的三等分线等。
、补角、对顶角
如果两个角的和等于90º,就说这两个角互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和等于180º,就说这两个角互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。
同角(等角)的补角相等。
同角(等角)的余角相等。
有公共的顶点,角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角。
两条直线相交,有2对对顶角。
对顶角相等。
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
垂直的记法:a⊥b,AB⊥CD。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
点P在直线l外,垂足为O,PO叫点P到直线l的垂线段。
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段长度叫做点到直线的距离。
平面图形的认识
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行(简称:同位角相等,两直线平行)
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两天直线平行(简称:内错角相等,两直线平行)
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角相等,那么这两条直线平行(简称:同旁内角相等,两直线平行)
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。
两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。
两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角相等。
将一个图形沿着某个方向移动一定的距离这样的图形运动叫做图像的平移。
平移不改变图形的形状、大小
一个图形和它经过平移所得到的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等。
三角形是有3条不在同一直线上的线段,首尾依次相连组成的图形。
三角形有3条边,3个内角,3个顶点。顶点时A,B,C的三角形记作△ABC
3个内角都小于90º的三角形是锐角三角形
有一个角是90º的三角形是直角三角形,直角三角形的两个锐角互余,有两个角互余的三角形是直角三角形
有一个角大于90º的三角形是钝角三角形
边相等的三角形是等腰三角形
边相等的三角形是等边三角形
三角形的任意两边之和大于第三边
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相反,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
在三角形中,连接一个顶点与他的对应中点的线段,叫做三角形的中线。
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高。
三角形的内角和为180º.
n边形的内角和为(n-2)×180º
多边形的外角和等于360º
幂的运算
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
幂的乘方,底数不变,注释相乘
(m,n为正整数)
积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘
同底数幂相除,底数不变,指数相减
任何不等于0的数的0次幂等于1
任何不等于0的数的-n次幂,等于这个数的n次幂的倒数。
整式乘法与因式分解
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只有一个单项式里含有的字母,则联通它的指数作为积的一个因式。
单项式乘多项式,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加
多项式与多项式相乘,先把一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
完全平方公式,
平方差公式
多项式ab+ac+ad各项都含有因式“a”,像这样的因式称为多项式各项的公因式
把一个多项式携程几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解
如果多项式的各项含有公因式,没那么就可以把这个公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这样分解因式的方式叫做提供因式。
运用平方差、完全平方公式,把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法。
二元一次方程
含有两个未知数,并且含有的未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。
适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。
把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起,就组成一个二元一次方程组。
把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数。把解二元一次方程组转化为解一元一次方程组。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。
把方程组的两个方程(或先做适当变形)相加或相减,消去其中一个未知数,把解二元一次方程组转化为解一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法。简称加减法。
把含有三个未知数的三个一方程联立在一起,就组成一个三元一次方程组。
用代入消元法或加减法消去一个未知数就可以把解三元一次方程组转化为解三元一次方程组。
一元一次不等式
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
不等式的性质1不等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变
不等式的性质2不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不等于0,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式:去分母--去括号--移项--合并同类项
把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。
求不等式组解集的过程叫做解不等式组。
证明你
对名称或术语的含义进行描述或作出规定,就是给出它们的定义。
判断一件事情的句子叫做命题。
如果条件成立,那么结论成立,像这样的命题叫做真命题。
如果条件成立时,不能得出结论总是成立,也就是说结论不成立,这样的命题叫做假命题。
根据已知的真命题,确定某个命题真实性的过程叫做证明。经过证明的真命题成为定理。
证明图形有关的命题时,一般有以下步骤:
根据题意,画出图形
根据命题的条件,结合图形,写出已知,求证
写出证明过程
在两个命题中,如果第一个命题的条件四第二个命题的结论;第一个命题的结论是第二个结论的条件,那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题时另一个的逆命题。