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第一单元百分数的应用
知识点一、“求数A比数B多(少)百分之几?”的实际问题
分解题目:已知条件:数A、数B;求:两数差的百分数
解题方法:(大数-小数)÷单位“1”
例1:东山村去年原计划造林16公顷,实际造林20公顷。实际造林比原计划多百分之几?
解:(实际造林-原计划造林)÷原计划造林
(20-16)÷16=25%
答:实际造林比原计划多25%。
例2:东山村去年原计划造林16公顷,实际造林20公顷。原计划造林比实际少百分之几?
解:(实际造林-原计划造林)÷实际造林
(20-16)÷20=20%
答:实际造林比原计划少20%。
知识点二、“数A比数B多(少)百分之几,求数A是多少?”的实际问题
分解题目:已知条件:数B、两数和(差)的百分数求:数A(非单位“1”)
解题方法:数B×(1+百分数)——两数和的方法数B×(1-百分数)——两数差的方法
例1:东山村去年原计划造林16公顷,实际造林比原计划多25%,实际造林多少公顷?
解析:从题目“实际造林比原计划多25%”中,可以看出“数A”是“实际造林”,“数B”是“原计划造林”,“两数和的百分数”是“25%”。根据公式可以得到:
数B×(1+百分数)
16×(1+25%)=20(公顷)答:实际造林20公顷。
例2:东山村去年实际造林20公顷,原计划造林比实际少20%,原计划造林多少公顷?
解析:从题目“原计划造林比实际少20%”中,可以看出“数A”是“原计划造林”,“数B”是“实际造林”,“两数差的百分数”是“20%”。根据公式可以得到:
数B×(1-百分数)
20×(1-20%)=16(公顷)答:原计划造林16公顷。
知识点三、“数A比数B多(少)百分之几,求数B是多少?”
分解题目:已知条件:数A、两数和(差)的百分数求:数B(单位“1”)
解题方法:数A÷(1+百分数)——两数和的方法数A÷(1-百分数)——两数差的方法
例1:东山村去年原计划造林16公顷,比实际造林少20%,实际造林多少公顷?
解析:从题目“比实际造林多25%”中,可以看出“数A”是“原计划造林”,在“比”之前省略了,“数B”是“实际造林”,“两数差的百分数”是“20%”。根据公式可以得到:
一个数÷(1-百分数)
16÷(1-20%)=20(公顷)答:实际造林20公顷。
例2:东山村去年实际造林20公顷,比原计划多25%,原计划造林多少公顷?
解析:从题目“比原计划多25%”中,可以看出“数A”是“实际造林”,在“比”之前省略了,“数B”是“原计划造林”,“两数和的百分数”是“25%”。根据公式可以得到:
一个数÷(1+百分数)
20÷(1+25%)=16(公顷)答:原计划造林16公顷。
知识点四、应纳税额的计算方法
分解题目:求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,用乘法计算。
解题方法:应纳税额=收入额×税率
例1:星光书店去年十二月份的营业额是60万元。如果按营业额的5%缴纳营业税,这个书店去年十二月份应缴纳营业税多少万元?
解:收入额×税率=应纳税额
60×5%=3(万元)答:应缴纳营业税3万元。
知识点五:利息的计算方法
名词解释:①本金:存入银行的钱。
②利息(应得利息):取款时银行除还给本金外,另外付给的钱。
③利率:利息占本金的百分率。按年计算的叫做年利率;按月计算的叫做月利率。
④利息税:利息所征收的个人所得税,一般是利息税率的5%。
⑤纯利息/实得利息:扣除利息税后的利息。
解题方法:①利息=本金×利率×时间
②纯利息=利息×(1-5%)=本金×利率×时间×95%或者=利息-利息税
例1:2007年8月20日,%。李爷爷把50000元存入银行,一年以后按5%缴纳利息税,应缴纳利息税多少元?
解析:本题求利息税。题目中已知利息税率5%,还告诉了本金、年利率和存款时间,所以根据公式:
应缴纳利息税=利息×利息税率=本金×年利率×存款时间×利息税率
50000×%×1×5%=
答:。
知识点六:折扣(成数)计算方法
名词解释:①折扣:商店经常把商品减价,按原价的百分之几出售,通常称为打折出售,简称为折扣。
②折扣与百分数的关系:打几折就是按原价的百分之几出售或说降价了(1-百分之几)出售。
③标价:商品摆放柜台出售的价格,包括成本和利润两部分。
④售价:商品的成交价格。售价经常等于或小于标价。
⑤成数:表示一个数是另一个数十分之几的数。通常用在工农生产中表示生产的增长状况。几成就是十分之几。“二成”就是十分之二,就是百分之二十。
⑥利润率:利润占成本的百分率。
解题方法:①售价(现价)=标价(原价)×折扣折扣=售价(现价)÷标价(原价)
标价(原价)=售价(现价)÷折扣
②利润率=利润÷成本
例1:一本书原价是30元,现在明明少花9元买到这本书,现在这本书打几折销售?
解析:本题求折扣,就要知道现价和原价。原价是30元,现价是30-9=21元。根据公式:
折扣=现价÷原价
21÷30=70%=七折答:现在这本书打七折销售。
知识点七:列方程解决稍复杂的百分数实际问题的解题方法
步骤:①审题:1,读懂题;2,列出等量关系式
②设未知数,列方程
③解方程,检验并写答。
解题方法:本单元的应用题一般设单位“1”为未知数。
例1:一个机械加工厂,十月份生产零件2000个,比原计划多生产25%,多生产多少个零件?
解析:本题中的单位“1”是原计划生产的零件,所以十月份生产零件比原计划多25%x个。
等量关系:原计划生产的零件+比原计划多生产的零件=十月份生产的零件
设:原计划生产零件x个。
X+25%X=2000
X=1600
1600×25%=400个答:多生产400个零件。
第二单元圆柱和圆锥
知识点一:圆柱、圆锥的认识
相关概念:①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形;侧面是一个曲面。
②圆柱的高:上下底面之间的距离。圆柱有无数条高,每条高相等。
③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形;侧面是一个曲面。
④圆柱的高:圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。
知识点二:圆柱侧面积的计算方法
理解掌握:圆柱的侧面展开图:有可能是长方形,也有可能是正方形。
①假如是长方形,那么长方形的长a,就是圆柱底面的周长C,宽b就是圆柱的高h。
长方形的面积S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh,就是圆柱的侧面积。
②假如是正方形,那么正方形的边长a既等于圆柱底面的周长C,也等于圆柱的高h,也就是说底面周长和高相等。
正方形的面积S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh,就是圆柱的侧面积。
所以圆柱的侧面积公式=Ch或者=2πrh或者=πdh
知识点三:圆柱表面积的计算方法
理解掌握:圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成,计算方法是S表=S侧+2S底,因为S侧=Ch,S底=πr2,
所以S表=Ch+2πr2
=2πrh+2πr2
用乘法分配率得圆柱的表面积公式=2π(rh+r2)
例1:一个圆柱形的罐头盒,,它的侧面展开图是一个正方形,做一个这样的罐头盒需要多少铁皮?
解析:本题中罐头盒的侧面展开图是正方形,说明圆柱的底面周长和高相等,,可以根据圆的周长公式C=2πr,把r先求出,最后再用圆柱的表面积公式。
解:÷÷2=2厘米
2×π×(2×+22)=:。
知识点四:圆柱体积的计算方法
理解掌握:利用我们以前学过的长方体的体积公式V长方体=S底×h,可以得到圆柱的体积公式V圆柱=S底×h,长方体的底面积是长方形或正方形,而圆柱的底面积是圆。
相关公式:①已知半径和高,V圆柱=πr2h
②已知直径和高,V圆柱=π(d÷2)2h
③已知周长和高,V圆柱=π(C÷2π)2h
难点解析:把圆柱的底面平均分成n份,切开后平成一个近似的长方体。
得到的结论:圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和;
圆柱的半径等于长方体的宽;
圆柱的高等于长方体的高;
圆柱的体积等于长方体的体积;
★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高);圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽),所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。
知识点五:圆锥体积的计算方法
理解掌握:根据书本上的实验可以得到结论:等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥的3倍,或者说圆锥的体积
是圆柱的三分之一。用字母表示为V圆柱=3V圆锥或者V圆锥=1/3V圆柱。
相关公式:只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。
①已知半径和高,V圆锥=1/3πr2h
②已知直径和高,V圆锥=1/3π(d÷2)2h
③已知周长和高,V圆锥=1/3π(C÷2π)2h
重点解析:在一个圆柱里面挖一个最大的圆锥,圆锥的体积和剩余部分的体积比是1:2。
例1:工地上的沙堆成近似的圆锥形,,,,这堆沙子共重多少吨?
解析:根据题目中的条件,可以用公式V圆锥=1/3π(C÷2π)2h
1/3××(÷2÷)2×=
×=:。
知识点七:圆柱和圆锥的横截面
理解掌握:★圆柱横截面的分割方法:
按底面的直径分割,这样分割的横截面是长方形或者是正方形,如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。
按平行于底面分割,这样分割的横截面是圆。
圆锥横截面的分割方法:
按圆锥的高分割,这样分割的横截面是等腰三角形。
按平行于底面分割,这样分割的横截面是圆。
第三单元比例
知识点一:图像的放大和缩小
理解掌握:把图形按1:n的比缩小,就是把图形的每条边都放大到原来的1/n;
把图形按n:1的比放大,就是把图形的每条边都缩小到原来的n倍。
知识点二:比例的意义
理解掌握:1、比例:表示两个比相等的式子。任何一个比例都是由两个内项和两个外项组成。
2、比和比例的区别:(1)比是表示两个数相除的关系。比例是表示两个比相等的关系。
(2)比由两项组成(前项、后项)。比例由四项组成(两个内项、两个外项)。
知识点三:应用比的含义组成比例
理解掌握:判断两个比能否组成比例,关键要看它们的比值是否相等。若比值相等,则能组成比例;若比值不想等,则不能组成比例。
知识点四:比例的基本性质
理解掌握:比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
若a:b=c:d,那么ad=bc。
若用分数表示比a/b=c/d,那么ad=bc。------十字交叉法
知识点五:解比例
理解掌握:解比例的依据是比例的基本性质,已知比例中的任意三项,就可以求出另外一项。
例1:5:8=x:161/9:1/4=x:18
8x=5×164:9=x:18
x=109x=4×18
x=8
知识点六:用比例解应用题
解题方法:审题列出比例等量关系式------设未知数列出比例方程------解比例并检验写答
例1:A、B两种商品的价格比是5:3,如果它们的价格分别上涨了420元后,价格比是6:5。那么A商品原来多少元?
解析:本题中告诉我们A、B两种商品涨价前后的价格比,利用比例的基本性质可以得到等量关系是:
(A商品原来的价格+420元):(B商品原来的价格+420元)=6:5
利用比例基本性质,设A商品原来的价格是5x元,B商品原来的价格是3x元
列出比例方程(5x+420):(3x+420)=6:5
(5x+420)×5=(3x+420)×6------比例基本性质
25x+2100=18x+2520------乘法分配率
25x-18x=2520-2100------等式基本性质
x=60
5×60=300元答:A商品原来300元。
知识点七:比例尺的意义
理解掌握:比例尺就是图上距离与实际距离的比。
图上距离是比的前项,实际距离是比的后项,比例尺是一个最简单的整数比。
相关公式:(1)比例尺=图上距离÷实际距离
(2)图上距离=比例尺×实际距离
(3)实际距离=图上距离÷比例尺
知识点八:比例尺的应用
理解掌握:(1)注意比例尺的前后单位是否统一。一般比例尺的单位是厘米,而题目往往会给出以千米做单位的比例尺。如1:40千米=1:4000000厘米
因为图上距离是比例的前项,实际距离是比例的后项,所以当比例尺的图上距离大于实际距离时,表示设计图纸大于实际物体,如比例尺是10:1(经常在精密仪器、化学领域中出现);当比例尺的图上距离小于实际距离时,表示设计图纸小于实际物体,如比例尺1:100(比如设计一栋教学楼)。
第四单元确定位置
知识点一、根据方向和距离确定物体的位置
理解掌握:(1)用字母表示方向。S表示“南”,W表示“西”,E表示“东”,N表示“北”。
(2)理解“X偏X若干度”,如南偏西15°,表示由南面向西面旋转15°的方向;西偏南15°,表示有西面向南面旋转15°的方向。这两个方向一样吗?请同学们仔细考虑一下?如果不一样,那么应该这么说呢?南偏西15°=偏°;西偏南15°=偏°。
(3)如何来用方向和距离确定位置呢?答:一找观察地点和实际地点,二看实际地点在观察地点的什么方向上,三量出观察地点和实际地点的距离,四标注要清楚。
知识点二、根据平面图用方向和距离描述简单的行走路线
解题方法:描述行走路线的方法:按行走路线,确定观测点及行走方向和路程,用“先……然后……再”等词语,按顺序叙述。
第五单元正比例和反比例
知识点一、正比例的意义及应用
理解掌握:(1)正比例的定义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(在除法中是叫做商)一定,那么这两个量叫做成正比例的量,它们的关系叫做成正比例关系。
(2)如果用字母x和y分别表示两种相关的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系式可用x/y=k。
(3)判断两种量是否成正比例的应用方法:1、判断两个是否相关联;
2、判断这两个量的比值是否一定,比值一定就成正比例关系;反之不成正比例关系。(简说:用除法,商一定,成正比)
知识点二、正比例的图像
理解掌握:正比例图像是一条直线。从图像中,可以直观看到两种量的变化情况,由一个量的值可以直接找到对应的
另一个量的值。
知识点三:反比例的意义及应用
理解掌握:(1)反比例的定义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的积一定,那么这两个量叫做成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系。
(2)如果用字母x和y分别表示两种相关的量,用k表示它们的比值(一定),反比例关系式可用x×y=k。
(3)判断两种量是否成反比例的应用方法:1、判断两个是否相关联;
2、判断这两个量的积是否一定,积一定就成反比例关系;反之不成反比例关系。(简说:用乘法,积一定,成反比)
知识点四:用正反比例解应用题
解题方法:(1)判断题目中相关联的量成什么关系,列出等量关系式;
(2)设未知数,列方程;
(3)解方程并检验写答。
例1:一部机器上有两个互相咬合的齿轮,主动轮有80个齿,每分钟转90转。从动轮有48个齿,每分钟转多少转?
解析:先判断齿数和转数成反比例关系,理由是齿数×转数=总齿数(一定)。
等量关系是:主动轮齿数×主动轮转数=从动轮齿数×从动轮转数
再设从动轮每分钟转x转。
48×x=80×90
x=150答:从动轮每分钟转150转。