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第六章一元一次方程
一、基本概念
(一)方程的变形法则
法则1:方程两边都或同一个数或同一个,方程的解不变。
例如:在方程7-3x=4左右两边都减去7,得到新方程:-3x+3=4-7。
在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x,得到新方程:8x=-6。
移项:将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移动到另一边,这样的变形叫做移项,注意移项要变号。
例如:(1)将方程x-5=7移项得:x=7+5即x=12
(2)将方程4x=3x-4移项得:4x-3x=-4即x=-4
法则2:方程两边都除以或同一个的数,方程的解不变。
例如:(1)将方程-5x=2两边都除以-5得:x=-
(2)将方程x=两边都乘以得:x=
这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
注意:
(1)如遇未知数的系数为整数,“系数化为1”时,就要除以这个整数;如遇到未知数的系数为分数,“系数化为1”时,就要乘以这个分数的倒数。
(2)不论上一乘以或除以数时,都要注意结果的符号。
方程的解的概念:能够使方程左右两边都相等的未知数的值,叫做方程的解。
求不方程的解的过程,叫做解方程。
(二)一元一次方程的概念及其解法
:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是,未知数的次数是,这样的方程叫做一元一次方程。
例如:方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。
而这些方程5x2-3x+1=0、2x+y=l-3y、=5就不是一元一次方程。
:ax+b=0(其中a、b为常数,且a≠0)
一元一次方程的一般式为:ax=b(其中a、b为常数,且a≠0)
步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1。
注意:(1)方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
(2)“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母;去分母时,要求各分母的最小公倍数,去掉分母后,注意添括号。去分母时,不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数(即公分母)
(三)一元一次方程的应用
:(1)一元一次方程定义的应用;(2)方程解的概念的应用;(3)代数中的应用;(4)公式变形等。
:(1)调配问题;(2)行程问题;(3)工程问题;(4)利息问题;(5)面积问题等。
:这类问题与上面的几类问题有联系,但也有区别,有时是一种没有结论的问题,需要你给出结论并解答。
第七章 二元一次方程组
一、基本概念
(一)二元一次方程组的有关概念
:都含有个未知数,并且的次数都是1,像这样的整式方程,叫做二元一次方程。
一般形式为:ax+by=c(a、b、c为常数,且a、b均不为0)
结合一元一次方程,二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解;“元”与“未知数”相通,几个元是指几个未知数,“次”指未知数的最高次数。
例如:方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。
而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。
:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。
例如:、、、等都是二元一次方程组。
而、、等都不是二元一次方程组。
注意:(1)只要两个方程一共含有两个未知数,也是二元一次方程组。如:、也是二元一次方程组。
(1)二元一次方程的解:能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。
(2)二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。(即是两个方程的公共解)
注意:写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。
二元方程解的写法的标准形式是:,(其中a、b为常数)
(二)二元一次方程组的解法
:“消元”,化二元一次方程组为一元一次方程来解。
(1)代入消元法(代入法)
定义:通过“代人”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法,简称代入法。
步骤:①选取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程③。
②把③代人另一个方程,得一元一次方程。
③解这个一元一次方程,得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人③,求出另一个未知数值,从而得到方程组的解。
(2)加减消元法(加减法)
定义:通过将两个方程相加(或相减),消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫加减消元法,简称加减法。
步骤:①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数,使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减,得一元一次方程。
③解这个一元一次方程,得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程,求出另一个未知数值,从而得到方程组的解。
注意:正确选用两种基本解二元一次方程组
(1)若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1,适宜用“代入法”。
(2)用加减法解二元一次方程组,两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等,可直接加减消元;若同一未知数的系数绝对值不等,则应选一个或两个方程变形,使一个未知数的系数的绝对值相等,然后再直接用加减法求解;若方程组比较复杂,应先化简整理。
第8章 一元一次不等式
一、基本概念
(一)不等式的有关概念和性质
:用表示不等关系的式子叫做不等式。
常见不等号:>、<、≥、≤、≠。
注:“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系,还明确表示左右两边的大小;“≤”、“≥”也表示不等,前者表示“不大于”(小于或等于),后者表示“不小于”(大于或等于),“≠”表示左右两边不相等
例如:方程7y-3x>4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。
而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。
:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
例如:不等式120<5x中x=25,26,27,…等都是120<5x的解,而x=24,23,22,21则都不是不等式的解。
(1)定义:一个不等式的所有解,组成这个不等式解的集合,简称为这个不等式的解集。
(2)求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
(3)在数轴上表示不等式的解集:
没有等号画空心圆圈,有等号画实心圆点。“大于”向右画,“小于”向左画。
不等式的基本性1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向。
即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c;
如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c.
不等式的基本性2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个,不等号的方向不变。
即:如果a<b,c>0,那么ac<bc,a/c<b/c
不等式的基本性3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的。
即:如果a>b,c<0,那么ac<bc,a/c<b/c
(二)解一元一次不等式
:只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式。
例如:方程7-3x>4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次不等式。
而这些方程5x2-3x+1≥0、2x+y<l-3y、≠5就不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤
步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1。
注意:(1)不等式中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。
(2)“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母;去分母时,要求各分母的最小公倍数,去掉分母后,注意添括号。去分母时,不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数(即公分母)。
不等式的解法与解一元一次方程类似,完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。
(三)一元一次不等式组
:几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组
与二元一次方程组不同的是,这里的“几个”可以两个,也可以三个,或更多个。
:不等式组中几个不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。
同“大”取大,同“小”取小,“大”小“小”大中间找,“大”大“小”小无解了
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
一般步骤:
(1)分别解不等式组中的每个不等式;
(2)把每个不等式组的解集在数轴上表示出来;
(3)找出各个不等式解集的公共部分;
(4)再结合不等式组解集的确定规律,写出不等式组的解集。
第九章 多边形
一、基本概念
(一)三角形有关概念
:三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,这三条线段就是三角形的边。
三角形专用符号:“△”A(顶点)
、边BC
组成三角形的线段如图中的AB、BC、AC是这个三角形的三边,
两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A等)三角形顶点只能用大写字
母表示,整个三角形表示为△ABC。
,外角的概念:
(1)内角:每两条边所组成的角叫做三角形的内角,如∠BAC等。每个三角形有三个内角,
(2)外角:三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
叫做三角形的外角,如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角,A
它与内角∠ACB相邻。外角
例如右图中∠ACD是∠ABC的一个外角,它与内角∠ACB相邻。B CD
与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?
一个三角形共有几个外角?
(1)三角形按角分类可分为:
(2)三角形按边分类可分为:
、角平分线、高(记住这重要的三线)
三角形的中线:三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
三角形的角平分线:三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。
三角形的高:过三角形顶点作对边的垂线,垂足与顶点间的线段叫三角形的高。
注意:
(1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样?
[三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于一点]
(2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系?
[三条中线(角平分线)相交于一点,这一点在三角形内部]
(3)直角三角形的三条高,它们有怎样的位置关系?钝角三角形呢?
[直角三角形有一条高在三角形内部,另外两条就是直角三角形的两条直角边,三条高的交点就是直角三角形的直角顶点,钝角三角形有一条高在形内,两条高在形外,三条高所在的直线的交点在形外。]
(4)以上三线都是线段。
(二)三角形外角的性质以及其外角的和
:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。A
如图:D是△ABC边BC上一点,则有∠ADC=∠DAB+∠ABD;
∠ADC>∠DAB,∠ADC>∠ABD BDC
问:∠ADB=∠( )+∠( )
。
三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)
(1)三角形外角和的定义:与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个,这两个外角是对顶角,从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和。
(2)三角形外角和定理:三角形的外角和是360°
(三)三角形的三边关系
:三角形的任何两边的和大于第三边。
三角形的任何两边的差小于第三边。
即三角形第三边的取值范围是:
|任何两边的差|<第三边<任何两边的和
以上定理主要用语判断给出一定长度的线段能否构成三角形和求第三边的取值范围。
这就是说三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。
(四)多边形的内角和与外角和
定义:由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为n边形,又称多边形。
一个n边形有n个内角,有2n个外角。
如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,则称为正多边形,如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。
对角线:连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
从n边形的一个顶点引对角线,可以引(n-3)条,这(n-3)条对角线把n边形分成(n-2)个三角形。
从n边形的所有顶点引对角线的总条数为:条。
n边形的内角和=(n-2)·180°
。
(1)多边形的外角和定义:从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为