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1、勾股定理:直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
2、如下图,在Rt△ABC中,∠C为直角,则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B):
定义
表达式
取值范围
关系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
(倒数)
余切
(∠A为锐角)
对边
邻边
斜边
A
C
B
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
-
-
1
0
6、正弦、余弦的增减性:
当0°≤≤90°时,sin随的增大而增大,cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性:
当0°<<90°时,tan随的增大而增大,cot随的增大而减小。
8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:①边的关系:;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)
9、应用举例:
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示,即。坡度一般写成的形式,如等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么。
10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。
11、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东30°(东北方向),南偏东45°(东南方向),
南偏西60°(西南方向),北偏西60°(西北方向)。
12、解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)
正弦定理: =2R. (R是△ABC外接圆半径).
② 余弦定理: c2=a2+b2-2abCosC;b2=c2+a2-2caCosB;a2=c2+b2-2cbCosA.
③ 互补的两个角的三角函数的关系:
Sin(180-A)=sinA,Cos(180-A)=-cosA,
tan(180-A)=-cotA,cotA(180-A)=-tanA.
④ S△ABC=absinC=bcsinA=casinB.
三角函数中考试题分类例题解说
图1
一、三角函数的定义
例1:(滨州市)如图1,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是()
,梯子越陡 ,梯子越陡
,梯子越陡
分析:由锐角的正切、正弦和余弦的定义可知:锐角的正切、正弦值越大,梯子越陡,余弦值越小,梯子越陡。因此选A。
二、利用特殊角的三角函数值计算
例4:(辽宁省十二市)计算:
解:
图3
点评:熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键。
三、求线段的长度
例5:(云南省)已知:如图3,在ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6。
求BC的长(结果保留根号).
图5
分析:解决此类问题需要根据题意构造直角三角形,在直角三角形中加以研究。如图4,过点A作AD⊥BC于点D。在RtABD中,∠B=45°,则AD=BD。不妨设AD=x,又AB=6,所以有x2 +x2=62,解得x=,即AD=BD=。在RtACD中,由∠ACD=60°得∠CAD=
图4
30°而tan30°=,即,解得CD=。因此BC=BD+DC=+。
下面也是2007年关于锐角三角函数的中考题,请自己完成。
1、(江西省)如图5,在中,,分别是的对边,若,则.
2、(大连市)在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,sinA=,则BC的长为___cm。
3、(丽水市)如图6,一架梯子斜靠在墙上,若梯子到墙的距离=3米,,则梯子的长度为米。
图6
A
B
C
4、(天津市)的值等于()
A. B. C.
5、(连云港市)计算:
6、(岳阳市)计算:+|2-3|+sin245°
图7
A
C
B
7、(眉山市)计算:sin450+cos300·tan600—
8、(中山市)如图7,Rt△ABC的斜边AB=5,cosA=。
(1)用尺规作图作线段AC的垂直平分线l(保留作图痕迹,不要求写作法、证明);
(2)若直线l与AB、AC分别相交于D、E两点,求DE的长。
答案:1、。2、8。3、4。4、A。5、2。6、。
7、-。8、2。
一、选择题
1.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则的值是()
A. . D.
2.(2008·威海中考)在△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinB=()
A. . D.
3.(2009·湖州中考)如图,在中,,,,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
A
C
B
D
3题4题5题
4.(2008·温州中考)如图,在中,是斜边上的中线,已知,,则的值是()
A. B. C. D.
5(2007·泰安中考)如图,在中,,于,若,,则的值为()
(A)(B)(C) (D)
二、填空题
6.(2009·梧州中考)在△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,,则AB的长是cm.
7.(2009·孝感中考)如图,角的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(3,4),则.
7题8题
8.(2009·庆阳中考)如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB,,则这个菱形的面积=cm2.
三、解答题
9.(2008·宁夏中考)如图,在△中,∠=90°,sin=,=15,求△的周长和tan的值.
10.(2007·芜湖中考)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,,
(1)求证:AC=BD;
(2)若,BC=12,求AD的长.
一、选择题
2.(2009·长春中考).菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示,,则点的坐标为()
A. B. C. D.
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )
4.(2008·宿迁中考)已知为锐角,且,则等于()
A. B. C. D.
5.(2008·毕节中考)A(cos60°,-tan30°)关于原点对称的点A1的坐标是()
. D.
6.(2007·襄樊中考)计算:等于()
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
7.(2009·荆门中考)=______.
8.(2009·百色中考)如图,在一次数学课外活动中,测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米,钢缆与地面的夹角为60º,则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米.(结果保留根号).
10.(2007·济宁中考)计算的值是。
三、解答题
11.(2009·黄石中考)计算:3-1+(2π-1)0-tan30°-tan45°
12.(2009·崇左中考)计算:.
要点三、解直角三角形在实际问题中的运用
一、选择题
1.(2009·白银中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )
2.(2009·衢州中考)为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据(单位:米),则该坡道倾斜角α的正切值是()
A. . D.
3.(2009·益阳中考)如图,先锋村准备在坡角为的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB为()
.
α
5米
A
B
1题2题3题
4.(2009·兰州中考)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离),也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为()
4题5题
5.(2009·潍坊中考)如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得,在C点测得,又测得米,则小岛B到公路l的距离为()米.
B. C. D.
二、填空题
6.(2009·沈阳中考)如图,市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥,已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为,则坡面AC的长度为m.
7.(2009·南宁中考)如图,一艘海轮位于灯塔的东北方向,距离灯塔海里的处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔的南偏东方向上的处,则海轮行驶的路程为_____________海里(结果保留根号).
6题7题8题9题
8.(2008·庆阳中考)如图,一架梯子斜靠在墙上,若梯子底端到墙的距离=3米,,则梯子长AB=米.
9.(2007·湖州中考)小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上,严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置,使其的倾斜角为75°,,则小明拓宽了行路通道_______________m.(结果保留三个有效数字,参考数据:sin15°≈26,cos15°≈)
三、解答题
10.(2009·郴州中考)如图,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,,测得仰角为,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN是多少米?(取=,=,结果保留两位小数)