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一、集合有关概念
1、集合的含义:把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性:元素的确定性元素的互异性元素的无序性
3、集合与元素的关系:属于与不属于关系
元素与集合的关系是,或者,两者必居其一.
4、集合的表示
列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表集合的方法叫做列举法
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R复数集C
5、集合的分类:
有限集:含有有限个元素的集合
无限集:含有无限个元素的集合
空集:不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B,这时我们说集合A是集合B的子集.
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:元素相同则两集合相等
即:①任何一个集合是它本身的子集。AÍA
②真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AÍB,BÍC,那么AÍC
④如果AÍB同时BÍA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,2n-2个非空真子集。
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定
义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集
记作,即CSA=
韦
恩
图
示
S
A
性
质
AA=AAΦ=Φ
AB=BAABA
ABB
AA=AAΦ=A
AB=BAABA
ABB
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
(CuA)(CuB)=Cu(AB)
A(CuA)=UA(CuA)=Φ.
二、函数的有关概念
1、函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→:y=f(x),x∈,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
A定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5),它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)
B值域:先考虑其定义域
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;
④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;
⑦利用对号函数
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
C区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间无穷区间
2、函数的表示法:   解析法、图像法和列表法
(1)分段函数
①在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
②各部分的自变量的取值情况.
③分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。
(2)映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
①集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
②集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
三、函数的基本性质
(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2、函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
①首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
注意:,,(1)再根据定义判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
3、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:凑配法待定系数法换元法消参法
4、函数最大(小)值
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值②利用图象求函数的最大(小)值③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);