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知识点一一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0).其中,ax²是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
——解一元二次方程
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如x²=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义可解得x1=,x2=.(2)直接开平方法适用于解形如x²=p或(mx+a)²=p(m≠0)形式的方程,如果p≥0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。(1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数;⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;
⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
知识点一公式法解一元二次方程
(1)一般地,对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),如果b²-4ac≥0,那么方程的两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:ax²+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值,注意符号;③求出b²-4ac的值;④若b²-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b²-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即△=b²-4ac.
△>0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程△=0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△<0,方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称理论依据适用范围
直接开平方法平方根的意义形如x²=p或(mx+n)²=p(p≥0)
配方法完全平方公式所有一元二次方程
公式法配方法所有一元二次方程
因式分解法当ab=0,则a=0或b=0一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
若一元二次方程x²+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a,,x1x2=c/a
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2)设:是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题三个连续整数:若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。三个连续偶数(奇数):若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法:设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.
(2)增长率问题设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1)²=b。
(3)利润问题利润问题常用的相等关系式有:①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润×总销售量;③利润=成本×利润率
(4)图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
二次函数
:一般地,如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,),那么y叫做x的二次函数.
=ax²的性质
(1)抛物线y=ax²的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.
(2)函数y=ax²的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点
=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
=ax²+bx+c用配方法可化成:y=a(x-h)²+k的形式,其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a.
,可分为以下几种形式:
①y=ax²;②y=ax²+k;③y=a(x-h)²;④y=a(x-h)²+k;⑤y=ax²+bx+c.
:开口方向、对称轴、顶点.
①a决定抛物线的开口方向:
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x=,y轴记作直线x=0.
,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
、对称轴的方法
(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是.
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
,a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与中的a完全一样.
(2),故:
①b=0时,对称轴为y轴;
②(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;③(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置.
当x=0时,y=c,∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0,c):
c=0,抛物线经过原点;②c>0,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,,:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标
x=0(y轴)(0,0)
当a>0时x=0(y轴)(0,k)
开口向上 x=h (h,0)
当a<0时x=h (h,k)
开口向下
(1)一般式:.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:.
(1)y轴与抛物线得交点为(0,c)
(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线有且只有一个交点(h,).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,:
①两个交点抛物线与x轴相交;
一个交点(顶点在x轴上)抛物线与x轴相切;
③没有交点抛物线与x轴相离.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像l与二次函数的图像G的交点,由方程组的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;
程组只有一组解时l与G只有一个交点;
程组无解时l与G没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与x轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
:
(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况.
(2)二次函数的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;当二次函数的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当时自变量x的值,即一元二次方程的根.
(3)当二次函数的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程有两个不相等的实数根;当二次函数的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程有两个相等的实数根;当二次函数的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程没有实数根
:
(1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值;
(2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系;运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量;(3)用函数表达式表示出它们之间的关系;(4)利用二次函数的有关性质进行求解;(5)检验结果的合理性,对问题加以拓
第二十三章旋转
知识点一旋转的定义
在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二旋转的性质
旋转的特征:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。
理解以下几点:(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质:(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为:①连:即连接图形中每一个关键点与旋转中心;
②转:即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
③截:即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
④接:即连接到所连接的各点。
知识点一中心对称的定义
中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
注意以下几点:中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质
有以下几点:
(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分;
(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形;
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。
知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。
第二十四章圆
知识点一圆的定义
圆的定义:第一种:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。第二种:圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念
(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。
(2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(3)等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。
(4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。
、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
知识点一圆周角定理