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不等式
(1)不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
(2)“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外,不等式中可含未知数,也可不含未知数.
1)不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即:
 若a>b,那么a±m>b±m;
 ②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:
若a>b,且m>0,那么am>bm或am>bm;
 ③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
若a>b,且m<0,那么am<bm或am<bm;
(2)不等式的变形:①两边都加、减同一个数,具体体现为“移项”,此时不等号方向不变,但移项要变号;②两边都乘、除同一个数,要注意只有乘、除负数时,不等号方向才改变.
不等式的解集
(1)不等式的解的定义:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(2)不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
(3)解不等式的定义:
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
(4)不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值,有无数个,用符号表示;不等式的解集是一个范围,.
用数轴表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:
一是定界点,,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;
二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.
一元一次不等式
一元一次不等式
(1)一元一次不等式的定义:
含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.
(2)概念解析
一方面:它与一元一次方程相似,即都含一个未知数且未知项的次数都是一次,但也有不同,即它是用不等号连接,而一元一次方程是用等号连接.
另一方面:它与不等式有区别,不等式中可含、可不含未知数,,即一元一次不等是属于不等式.
解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,,得到需要的值,进而非常容易的解决问题.
由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时,要抓住题目中的关键词,如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等,正确选择不等号.
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵,不同的词里蕴含这不同的不等关系.
一元一次不等式的应用
由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解
一元一次不等式组
一元一次不等式组的定义:
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
概念解析形式上和方程组类似,就是用大括号将几个不等式合起来,,在方程组中有几元一般就有几个方程,而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个
解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.
(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时,首先把题意弄明白,在此基础上找准题干中体现不等关系的语句,“不足”,“不少于”,“不大于”,“不超过”.
一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题,考虑列一元一次不等式组,并求解.
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题,其一般步骤:
(1)分析题意,找出不等关系;
(2)设未知数,列出不等式组;
(3)解不等式组;
(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案;(5)作答.