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平均数、众数和中位数
平均数、,最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明.
一、正确理解平均数、众数和中位数的概念
平均数 平均数是反映一组数据的平均水平的特征数,,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.
,这就告诉我们在求一组数据的众数时,既不需要排列,又不需要计算,只要能找出样本中出现次数最多的那一个(或几个),它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势.
中位数就是将一组数据按大小顺序排列后,处在最中间的一个数(或处在最中间的两个数的平均数).一组数据中的中位数是唯一的.
二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,,那得看数据的特点和要关注的问题.
三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题
由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题.
极差、方差、标准差
极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的,反映一组数据的波动范围或波动大小的量.
极差
一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差,即极差=最大值-,差是最简单的一种度量数据波动情况的量,它受极端值的影响较大.
二、方差
,,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
求一组数据的方差可以简记先求平均,再求差,然后平方,、x2、x3、…、xn的平均数为,则该组数据方差的计算公式为:
.
三、标准差
在计算方差的过程中,可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致,在实际的应用时常常将求出的方差再开平方,此时得到量为这组数据的标准差.
即标准差=.
四、极差、方差、标准差的关系
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量,,是因为标准差的单位和原数据的单位一致,且能缓解方差过大或过小的现象.
一、随机事件的概率
1、必然事件:一般地,把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。
2、不可能事件:把在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。
3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
4、随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件。
7、概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性,可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
概率的基本性质
1、事件的关系与运算
(1)包含。对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记作。
不可能事件记作。
(2)相等。若,则称事件A与事件B相等,记作A=B。
(3)事件A与事件B的并事件(和事件):某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。
(4)事件A与事件B的交事件(积事件):某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。
(5)事件A与事件B互斥:为不可能事件,即,即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
(6)事件A与事件B互为对立事件:为不可能事件,为必然事件,即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质
(1).
(2)必然事件的概率为1..
(3)不可能事件的概率为0..
(4)事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
(5)若事件B与事件A互为对立事件,,则为必然事件,.
三、古典概型
1、基本事件的特点:(1)任何两个事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2、古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式:
四、几何概型
1、几何概型:每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例的概率模型。
2、几何概型中,事件A发生的概率计算公式:
三类概率问题的求解策略
对于一个概率题,我们首先要弄清它属于哪一类型的概率,因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法;其次,要审清题意,注意问题中的关键语句,因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。
一、可能性事件概率的求解策略
对于可能性事件的概率问题,利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时,应注意按下列步骤进行:求出基本事件的总个数n;②求出事件A中包含的基本事件的个数m;③求出事件A的概率,即
二、互斥事件概率的求解策略
对于互斥事件的概率问题,通常按下列步骤进行:①确定众事件彼此互斥;②众事件中有一个发生;先求出众事件分别发生的概率,然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题,一般应考虑两种方法:一是“直接法”,将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是用“间接法”,即先求出此事件的对立事件的概率,再用求出结果。
三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略
对于相互独立事件同时发生的概率问题,其求解的一般步骤是:①确定众事件是相互独立的;②确定众事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求它们的积。
概率的计算方法
一、公式法
利用公式就可以计算随机事件的概率,这里,,如果A为不确定事件,那么0<<1.
二、列表法
,它们的牌面数字分别是1,2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为几的概率最大?两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少?
解:利用列表法:
第一张牌的牌面数字
第二张牌的牌面数字
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
列表中两次出现1,2,3点的可能性相同,因而共有9中可能,而牌面数字和等于4的情况有(1,3),(2,2),(3,1),3中可能,所以牌面数字和等于4的概率等于,即.
三、树状图法
如上题的另一中解法,就利用用树状图法来解:
(5)
(4)
开始
2
1
3
3
(2)
(3)
(3)
(4)
(5)
(6)
1
2
2
2
3
(4)
1
1
3
总共9种情况,每种情况发生的可能性相同,而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最多,共3次,因此牌面数字和等于4的概率最大,概率为等于,即.
四、面积法
几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合
A
B
C
D
,矩形花园ABCD,AB为4米,BC为6米,小鸟任意落下,则小鸟落在阴影区的概率是多少?
解:矩形面积为:4×6=24(米),
阴影部分面积为:(米),
.