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第一部分集合
(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;
(2)注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。
(3)
第二部分函数与导数
:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;
⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
(1)复合函数定义域求法:
①若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数的定义域是内函数的值域。
:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数;
⑶是偶函数;
⑷奇函数在原点有定义,则;
⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
⑴单调性的定义:
①在区间上是增函数当时有;
②在区间上是减函数当时有;
⑵单调性的判定
1定义法:
注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
②导数法(见导数部分);
③复合函数法(见2(2));
④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
①;②;③;
④;⑤;
⑶函数周期的判定
①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论)
⑷与周期有关的结论
①或的周期为;
②的图象关于点中心对称周期为2;
③的图象关于直线轴对称周期为2;
④的图象关于点中心对称,直线轴对称周期为4;
⑴幂函数:(;⑵指数函数:;
⑶对数函数:;⑷正弦函数:;
⑸余弦函数:;(6)正切函数:;⑺一元二次函数:;
⑻其它常用函数:
1正比例函数:;②反比例函数:;特别的
2函数;
:
⑴解析式:
①一般式:;②顶点式:,为顶点;
③零点式:。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:
①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
:
⑴图象作法:①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
1平移变换:ⅰ,2———“正左负右”
ⅱ———“正上负下”;
3伸缩变换:
ⅰ,(———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
ⅱ,(———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;
4对称变换:ⅰ;ⅱ;
ⅲ;ⅳ;
5翻转变换:
ⅰ———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:
①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x,y)=0;
③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
:
⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
⑴导数定义:f(x)在点x0处的导数记作;
⑵常见函数的导数公式:①;②;③;
④;⑤;⑥;⑦;
⑧。
⑶导数的四则运算法则:
⑷(理科)复合函数的导数:
⑸导数的应用:
①利用导数求切线:注意:ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数判断函数单调性:
ⅰ是增函数;ⅱ为减函数;
ⅲ为常数;
③利用导数求极值:ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值:ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定积分
⑴定积分的定义:
⑵定积分的性质:①(常数);
②;
③(其中。
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
⑷定积分的应用:①求曲边梯形的面积:;
3求变速直线运动的路程:;③求变力做功:。
第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化:弧度,弧度,弧度
⑵弧长公式:;扇形面积公式:。
:角中边上任意一点为,设则:
:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
:“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴对称轴:;对称中心:;
⑵对称轴:;对称中心:;
:;
、余弦、正切公式:①
②③。
:①;
②;③。
、余弦定理:
⑴正弦定理:(是外接圆直径)
注:①;②;③。
⑵余弦定理:等三个;注:等三个。
10。几个公式:
⑴三角形面积公式:;
⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R=
:
第四部分立体几何
:注:原图形与直观图面积之比为。
(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧=;③体积:V=S底h
⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧=;③体积:V=S底h:
⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧=;③体积:V=(S+)h;
⑷球体:①表面积:S=;②体积:V=。
(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:
1平移法:平移直线,2构造三角形;
3②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,4发现两条异面直线间的关系。
注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:
①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin。
注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法:
①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解;
②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;
③射影法:利用面积射影公式:,其中为平面角的大小;
注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法;
理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。
:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)
⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;
⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;
⑶点到平面的距离:
①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解;
5等体积法;
理科还可用向量法:。
⑷球面距离:(步骤)
(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。
:
⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):
⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为,则S侧cos=S底;
⑷长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则:cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。
⑸正四面体的性质:设棱长为,则正四面体的:
1高:;②对棱间距离:;③相邻两面所成角余弦值:;④内切2球半径:;外接球半径:;
第五部分直线与圆
⑴点斜式:;⑵斜截式:;⑶截距式:;
⑷两点式:;⑸一般式:,(A,B不全为0)。
(直线的方向向量:(,法向量(
:
(1)列约束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
:
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),⊿ABC的重心G:();
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是;
:
⑴标准方程:①;②。
⑵一般方程:(
注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
:
⑴;
注:当时表示两圆交线。
⑵。
、直线与圆的位置关系:(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系:(表示点到圆心的距离)
①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系:(表示圆心到直线的距离)
①相切;②相交;③相离。
⑶圆与圆的位置关系:(表示圆心距,表示两圆半径,且)
①相离;②外切;③相交;
④内切;⑤内含。
:
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2;
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
⑵以A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分圆锥曲线
:⑴椭圆:;
⑵双曲线:;⑶抛物线:略
⑴焦半径:①椭圆:(e为离心率);(左“+”右“-”);
②抛物线:
⑵弦长公式:
;
注:(Ⅰ)焦点弦长:①椭圆:;②抛物线:=x1+x2+p=;(Ⅱ)通径(最短弦):①椭圆、双曲线:;②抛物线:2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:(同时大于0时表示椭圆,时表示双曲线);
⑷椭圆中的结论:
①内接矩形最大面积:2ab;
②P,Q为椭圆上任意两点,且OP0Q,则;
③椭圆焦点三角形:<Ⅰ>.,();<Ⅱ>.点是内心,交于点,则;
④当点与椭圆短轴顶点重合时最大;
⑸双曲线中的结论:
①双曲线(a>0,b>0)的渐近线:;
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数,≠0);
③双曲线焦点三角形:<Ⅰ>.,();<Ⅱ>.P是双曲线-=1(a>0,b>0)的左(右)支上一点,F1、F2分别为左、右焦点,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为;
④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直;
(6)抛物线中的结论:
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质:<Ⅰ>.x1x2=;y1y2=-p2;
<Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与轴相切;<Ⅴ>.。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质:
<Ⅰ>.;<Ⅱ>.恒过定点;
<Ⅲ>.中点轨迹方程:;<Ⅳ>.,则轨迹方程为:;<Ⅴ>.。
③抛物线y2=2px(p>0),对称轴上一定点,则:
<Ⅰ>.当时,顶点到点A距离最小,最小值为;<Ⅱ>.当时,抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小,最小值为。
:
⑴直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。
注意以下问题:
①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法):--------处理弦中点问题
步骤如下:①设点A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。
:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义;(2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:①a‖b(b≠0)a=b(x1y2-x2y1=0;
②a⊥b(a、b≠0)a•b=0x1x2+y1y2=0.
⑵a•b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2;
注:①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;
6a•b的几何意义:a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。
⑶cos<a,b>=;
⑷三点共线的充要条件:P,A,B三点共线;
附:(理科)P,A,B,C四点共面。
第八部分数列
:
⑴等差数列;
⑵等比数列
;
、等比数列性质
等差数列等比数列
通项公式
前n项和
性质①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP③成GP
④成AP,④成GP,
等差数列特有性质:
1项数为2n时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;;
2项数为2n-1时:S2n-1=(2n-1);;;
3若;若;
若。
:
⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法:累加法(;
⑷叠乘法(型);⑸构造法(型);(6)迭代法;
⑺间接法(例如:);⑻作商法(型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。
注:当遇到时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。
:
⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。
:
⑴;⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分不等式
:
注意:①一正二定三相等;②变形,。
:
:
⑴;⑵;⑶;
;⑷;;
;⑸;(6)
。
(主要)方法:
⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。
第十部分复数
:
⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0;
⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);
:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:
(1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;⑶z1÷z2=(z2≠0);
:
;⑶;⑷
⑸性质:T=4;;
(6)以3为周期,且;=0;
(7)。
:(1)
:⑴;⑵;⑶;⑷。
:⑴;⑵;⑶;⑷;
第十一部分概率
:
⑴事件B包含事件A:事件A发生,事件B一定发生,记作;
⑵事件A与事件B相等:若,则事件A与B相等,记作A=B;
⑶并(和)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生或B发生,记作(或);
⑷并(积)事件:某事件发生,当且仅当事件A发生且B发生,记作(或);
⑸事件A与事件B互斥:若为不可能事件(),则事件A与互斥;
(6)对立事件:为不可能事件,为必然事件,则A与B互为对立事件。
:
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型:;
⑶几何概型:;
第十二部分统计与统计案例
⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。
注:①每个个体被抽到的概率为;
②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。
⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的
规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。
注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号;
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样:当已知总体有差异比较明显的几部分组成时,为使样本更充分的反映总体的情况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。
注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
:
⑴样本平均数;
⑵样本方差;
⑶样本标准差=;
(判定两个变量线性相关性):
注:⑴>0时,变量正相关;<0时,变量负相关;
⑵①越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
:
⑴总偏差平方和:⑵残差:;⑶残差平方和:;⑷回归平方和:-;⑸相关指数。
注:①得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;
②越接近于1,,则回归效果越好。
(分类变量关系):
随机变量越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。
第十四部分常用逻辑用语与推理证明
:
⑴原命题:若p则q;⑵逆命题:若q则p;
⑶否命题:若p则q;⑷逆否命题:若q则p
注:原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
:
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系:例如:若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件;
: