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在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3),先看它是否为整式方程,若是,+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0)
——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:
1、直接开平方法:
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=±m.
.
2、配方法
通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。
:将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)
:将二次项系数化为1
:将常数项移到等号右侧
:等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方
:将等号左边的代数式写成完全平方形式
:左右同时开平方
:整理即可得到原方程的根
3、公式法
公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展
从列方程解应用题的方法来讲,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的,由于一元一次方程未知数是一次,,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.
第二十二章二次函数
二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(b2-4ac)/4a);
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线];
重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
  
不同的二次函数图像
如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称
。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
顶点
,坐标为P(-b/2a,4ac-b2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b2-4ac=0时,P在x轴上。
开口
。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时
(即ab<0),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定抛物线与y轴交点的因素
。
抛物线与y轴交于(0,c)
抛物线与x轴交点个数
Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值,当a<0时,函数在x=-b/2a处取得最大值
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,
①当x=1时y=a+b+c ②当x=-1时y=a-b+c ③当x=2时y=4a+2b+c
④当x=-2时y=4a-2b+c
用函数观点看一元二次方程
,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此就是方程的一个根。
:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。
实际问题与二次函数
在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。
第二十三章旋转
(1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。
(2)生活中的旋转现象大致有两大类:一类是物体的旋转运动,如时钟的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等;另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案,如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。
(3)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。
(4)会找对应点,对应线段和对应角。
:
(1)图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
(2)图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等;
(3)图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。
:
(1)在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。
(2)旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。
(3)旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。
中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,假如它能够与另一个图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。
中心对称的性质:①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是全等形。
中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
对称点的坐标规律:①关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数,②关于y轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。
灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计.
图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形,图案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换,还要看图案是否很好的体现了设计意图.
第二十四章圆
定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆。
圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心
(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。
(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。
(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注:圆心一般用字母O表示
直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2,用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
周长计算公式
1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=c\π
4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 5、半圆的长:1\2周长+直径
面积计算公式:
1、已知半径:S=πr平方 2、已知直径:S=π(d\2)平方3、已知周长:S=π(c\2π)平方
、直线、圆和圆的位置关系
①点在圆内点到圆心的距离小于半径②点在圆上点到圆心的距离等于半径
③。
经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。
相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。
相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。
相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d,那么
①直线和⊙O相交;②直线和⊙O相切;③直线和⊙O相离。
圆和圆
定义:
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。
两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。
两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。
两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。
原理:
圆心距和半径的数量关系:
两圆外离<=>d>R+r两圆外切<=>d=R+r
两圆相交<=>R-r<d<R+r(R>=r)两圆内切<=>d=R-r(R>r)
两圆内含<=>d<R-r(R>r)
1、正多边形的概念:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形与圆的关系:
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。
3、正多边形的有关概念:
(1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。
(2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。
(3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。
(4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。
4、正多边形性质:
(1)任何正多边形都有一个外接圆。
(2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对称图形,正n边形的对称轴有n条。
(3)边数相同的正多边形相似。
重点:正多边形的有关计算。
知识讲解
1、正多边形定义:各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。
例如:正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有n条边,那么,这个多边形叫正n边形。
再如:矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一定相等;菱形不是正多边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一定相等。
2、正多边形与圆的关系。
正多边形与圆有密切关系,把圆分成n(n≥3)等份,依次连结分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。
相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满足了所有边都相等,所有内角都相等,从而这个多边形就是正多边形。
如:将圆6等分,即,则AB=BC=CD=DE=EF=FA。
观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所对的弧可以发现都是相等的弧,所以,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。
所以,将一个圆6等分,依次连结各分点所得到的是⊙O的内接正六边形。
3、正多边形的有关计算。
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念:即正多边形的中心O,正多边形的半径Rn——就是其外接圆的半径,正多边形的边心距rn,正多边形的中心角αn,正多边形的边长an。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形,等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于;如果再作出正n边形各边的边心距,这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
如图:是一个正n边形ABCD……根据以上讲解,我们来分析RtΔAOM的基本元素:
斜边OA——正n边形的半径Rn;
一条直角边OM——正n边形的边心距rn;
一条直角边AM——正n边形的边长an的一半即AM=an;
锐角∠AOM——正n边形的中心角αn的一半即∠AOM=;
锐角∠OAM——正n边形内角的一半即∠OAM=[(n-2)·180°];
可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正n边形的各元素。
因此,就可以把正n边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。
4、正多边形的有关作图。
(1)使用量角器来等分圆。
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆;根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n边形。
(2)用尺规来等分圆。
对于一些特殊的正n边形,还可以用圆规和直尺作出图形。
①正四、八边形。
在⊙O中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份,从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等,边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。
通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在⊙O中,任画一条直径AB,分别以A、B为圆心,以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F,则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然,A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样,在图(3)中平分每条边所对的弧,就可把⊙O12等分……。
5、正多边形的对称性。
正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心,如果正多边形有偶数条边,那么,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。
如:正三角形、正方形。
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,
说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。
(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。
 
知识点2、扇形的面积
如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。
 
知识点3、弓形的面积
(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。
(2)弓形的周长=弦长+弧长
(3)弓形的面积
如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 
当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,
当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,
注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
 
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
公
式
(2)扇形与弓形的联系与区别
(2)扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
 
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积
说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积
知识小结:
圆锥与圆柱的比较
名称
圆锥
圆柱
图形
图形的形成过程
 
由一个直角三角形旋转得到的,如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。
由一个矩形旋转得到的,如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成
一个底面和一个侧面
两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征
扇形
矩形
面积计算方法
 第二十五章概率初步
具有下列三个特性的试验称为随机试验:
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;·
(2)每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;
(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.