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第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
一、不等关系
1、一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
种类
符号
实际意义
读法
举例
小于号
<
小于、不足
小于
2+3<6
大于号
>
大于、高出
大于
3+3>5
小于或等于号
≤
不大于、不超过、至多
小于或等于(不大于)
x≤8
大于或等于号
≥
不少于、不低于、至少
大于或等于(不小于)
x≥5
不等号
≠
不相等
不等于
4≠5
2、区别方程与不等式:方程表示是相等的关系,不等式表示代数式之间的不相等的关系。
列不等式的方法:从题目的问题出发==>找出题目中涉及的各种量==>分析它们的数量关系(相等或不等关系)==>然后根据题意列出等式或不等式,解决问题。
3、准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数<===>大于等于0(≥0)<===>0和正数<===>不小于0
非正数<===>小于等于0(≤0)<===>0和负数<===>不大于0
二、不等式的基本性质
1、掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变
即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变
即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,
2、比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)一般地:
如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;
如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;
如果a<b,那么a-b是负数;反过来,如果a-b是负数,那么a<b;
即:a>b<===>a-b>0a=b<===>a-b=0a<b<===>a-b<0
(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差是否大于零就可以做出判断.
三、不等式的解集:
1、能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;
一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每个值都是不等式的解。所以,不等式的解是指解集范围内的数值。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。解不等式依据的是不等式的基本性质,一定要注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变符号。当然,“a>x(a≥x)”或者“a<x(a≤x)”的形式。
2、不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.
3、不等式的解集可以在数轴上直观地表达出来:
用数轴表示不等式的解集时,先画数轴,再确定边界,最后确定方向:
①定“边界点”:有等号的是用实心点,无等号的是用空心点;
②定“方向”:相对于边界点尔而言,大于向右画,小于向左画。
四、一元一次不等式:
1、只含有一个未知数,左右两边都是整式,.
2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以同一个负数时,不等号的方向要改变.
3、解一元一次不等式的步骤:
根据不等式的基本性质
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤系数化为1。
4、一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)
①当a>0时,解为;
②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;
③当a<0时,解为;
5、不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式(组)解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:
①审:认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;
②设:设出适当的未知数;
③列:根据题中的不等关系,列出不等式(组);
④解:解出所列的不等式(组)的解集;
⑤答:写出符合题目实际要求(比如题目要求取整数)的答案,并检验答案.
一元一次不等式与一次函数的关系:由于任何一元一次不等式都可以转化为kx+b>0或kx+b<0(k,b为常数,k≠0)的形式,而对一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),若令y>0或y<0则得kx+b>0或kx+b<0,由此可见解一元一次不等式都可以当做一次函数的函数值大于0或小于0时,求相应的自变量的取值范围。
一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的综合运用:它们之间的关系用来解决比较型的方案选择问题(即对比两种不同的方案,再选择出某种合理的方案):①根据条件中变量关系列出函数表达式=x+和=x+.②根据和之间的大小关系(>或=或<)分情况求出相应的x的值。③比较所得的结果,根据问题的要求作出判断。
五、一元一次不等式组
1、定义:由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.(至少含有两个不等式)
2、,就说这个不等式组无解.
几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.
3、解一元一次不等式组的步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)
一元一次不等式(a<b)
解集
图示
叙述语言表达
x>b
两大取较大
x>a
两小取小
a<x<b
大小交叉中间夹
无解
大小分离没有解
(是空集)
第二章分解因式
一、分解因式
1、把一个多项式化成几个整式相乘的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
@分解因式必须是对多项式而言,单项式不能分解因式
@分解因式一直分解到每个因式都不能再分解为止。
@若一个多项式不能直接分解因式,就要先变形,以便于多项式进一步分解。
2、因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)分解因式是把一个多项式化为几个因式相乘的形式.
二、提公共因式法:
公因式:我们把多项式各项都含有的因式叫做多项式的公因式。
提公共因式法的理论根据是乘法分配律
1、如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,:
2、提取公因式的方法:(1)找系数,取多项式中各项系数中的最大公约数;(2)找字母,应取各项都含有的字母,并取相同字母的最低次幂。他们的积就是公因式。
注意:提出公因式一定要提“干净”。
(1)当首项为负时,一般要提出负号,此时括号内各项英改变符号。
(2)如果多项式中有同类项一定要合并,这时若有公因式,要提出来。
(3)不能漏项,提出公因式之后,每一项都有剩余部分。某一项若被全部提出后,则剩下的项应是1.
(4)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(5)要注意隐含的公因式:比如通过适当的变形就能发现,a(a–b)–b(b–a),由于a–b=–(b–a),所以公因式是a–b
三、运用公式法:
1、如果把乘法公式反过来,.
2、主要公式:
(1)平方差公式:
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
(2)完全平方公式:
两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍等于这两数的和(或差)的平方。
3、.
再比如:(1)(2)(3)(4)
4、运用公式法:
(1)平方差公式:①应是二项式或者视作二项式的多项式;②二项式的每项都可以表示是成平方的形式;③二项是异号的.
(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项是同号的,并且是平方的形式;
③剩下的一项必须是两平方项的底数乘积的2倍.
5、因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
四、分组分解法:
1、分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如:
2、分组分解法的关键是如何分组,要保证通过分组之后有公因式可提,方便于分解因式.
3、注意:分组时一定要注意符号的变化.
五、十字相乘法:
1、如果一个二次三项式,将a和c分别可以分解成两个因数的乘积,,,并且满足,往往写成的形式,那么二次三项式可以分解.
为。
2、二次三项式可以分解:
3、理解规律:
(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号的因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解得到的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
4、注意:(1)用十字相乘法时分解系数要时要反复验证;(2)分解时要将分解得到的式子还原,检验分解的结果是否正确.
第三章分式
一、分式
1、两个整数不能整除时,出现了分数。类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式。
整式A除以整式B,可以表示成的形式。如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零。
形如(A,B是整式,且B中含有字母,B0)的式子叫做分式,其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。(1)分母中含有字母的是分母。(2)分母中不含字母的是整式。
当分母的值不等于0,即B0时,分式有意义。
(4)当分式的分子等于0,且分母不等于0时,分式的值等于0.
2、整式和分式统称为有理式,即有:
3、分数的基本性质(与分数的基本性质类似):
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
4、约分:如果一个分式的分子和分母含有公因式,那么可以把这个分式的分子和分母同事除以公因式,也就是把分子和分母中的公因式约去,这个过程叫做约分。
(1)约分的理论根据是分式的基本性质。
(2)当分子和分母没有公因式时,这样的分式叫做最简分式。化简分式通常是化成最简分式或者整式。
二、分式的乘除法:
1、分式乘以分式:把分子相乘的积做积的分子,把分母相乘的积做积的分母。
2、分式除以分式:把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
即:,
3、分式乘方:把分子、分母分别乘方。即:
逆向运用,当n为整数时,仍然有成立。
4、分式的乘除混合运算:类比分数的乘除混合运算可以统一为乘法运算,然后约分再相乘,并把结果整理为一个最简分式。如果有括号,那么先计算括号里的。
三、分式的加减法:
1、通分:分式与分数类似,也可以通分。根据分式的基本性质,。
通分的关键是确定最简分母,找最简公分母是通分的关键:(1)取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。(2)取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式。(3)只在一个分式的分母中出现的字母连同其指数作为最简公分母的一个因式。(4)如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
2、分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减和异分母的分式相加减。
同分母的分式相加减:分母不变,把分子相加减,表达式为:
同分母的分式相减时,减式的分式是多项式时要加括号。
(2)异号分母的分式相加减:先通分,化为同分母的分式,然后再相加减,
表达式为:
整式可以看成分母是1的分式进行通分。
(3)分式的混合运算:与分数的混合运算一样,其运算顺序是先乘除后加减,有括号先计算括号里的再计算括号外的,结果要是最简分式或整式。有理数的运算定律也适用于分式。
四、分式方程:
1、定义:分母中含有未知数的方程是分式方程。所以判断一个方程是不是分式方程,关键是看分母中有没有未知数。分式方程的增根是使分式方程中分式分母为0的根。(因为我们把分式方程化成整式方程就会产生增根)
2、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;②解这个整式方程;
③检验所求的解:把整式方程的根代入所乘的最简公分母,若结果不是零,则是原方程的根,若结果是零,则为原方程的增根,必须舍去。
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