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函数及直角坐标系
在某一变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,取值始终保持不变的量,称为常量。
10月17日凌晨4时33分,神州六号在内蒙古四子王旗成功着陆。在着陆前的最后48分时间内,它是在耐高温表层的保护下,以7800米/秒的速度冲入100千米厚的地球大气层。在空气阻力的作用下,它在距地球表面10千米左右时,以180米/秒的速度下降,此时直径20多米的降落伞自动打开。
在上述过程中,你能说出哪些变量和常量?
如果在一个变化过程中,有两个变量,例如和,对于的每一个值,都有的唯一值与之对应,我们就说是自变量,是因变量。此时我们也称是的函数。
1、函数的自变量的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
2、在函数中自变量的取值范围是。
表示函数关系的方法通常有三种:解析法、列表法、图象法。其中解析法是最常见的表示方法。
1、设一长方体盒子高20cm,底面是正方形;则这个长方体盒子的体积V(cm3)与底面边长a(cm)之间的函数关系式为,自变量的取值范围是。
在平面上画两条原点重合,互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系,其中水平的一条数轴叫做轴或者横轴,取向右为正方向;垂直的数轴叫做轴或者纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。
1、在平面直角坐标系内,下面说法错误的是()
(A)原点O在坐标平面内
(B)原点既在X轴上,又在Y轴上
(C)原点O不在任何象限内
(D)原点O的坐标是O
在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。
提示:在平面直角坐标系中的任一个点一定对应着一对有序实数,反之,一对有序实数也一定对应着一个点。
1、画一个直角坐标系,并在坐标系中描出下列各点:
A(–2,0)B(3,–2)C(0,4)D(–1,–2)E(0,–2)
求出下列线段的长:
AC__________;AD=` ___________;CE=___________;BD=____________。
建立了直角坐标系后,平面内的点就可以用一对有序实数来表示了。
①各象限内点的坐标特点,如图所示:
②坐标轴上的点不属于任何象限,x轴上的点的纵坐标为0,
y轴上的点的横坐标为0,坐标原点可表示为
③对称点的坐标特点:
关于轴对称的两个点的横坐标相等(不变),纵坐标互为相反数;
关于轴对称的两个点的纵坐标相等(不变),横坐标互为相反数
关于原点对称的两个点,横、纵坐标均互为相反数,如的关于轴对称的点的坐标为,关于轴对称的点的坐标为,关于原点对称的点的坐标为。
特别警示:若两点
(1)关于轴对称,则;
(2)关于轴对称则
(3)关于原点对称则。
画函数图象的方法可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为三步法画函数图像。
画函数图像本质上就是把函数由解析法或列表法向图像法转换的过程。
解析法——————列表法——————图像法
函数图像上的每一个点,点的横坐标代入自变量,纵坐标代入因变量,这两个量必须满足函数解析式,或在列表中对应,反之,对应的一组自变量和应变量,作为一组有序实数对,则它所对应的点,必然在函数的图像上。
二、一次函数
一次函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,一次函数通常可以表示为的形式,其中是常数,。特别的,当时,一次函数(常数)也叫做正比例函数
特别警示:正比例函数是一次函数的特别形式,它是一次函数,符合一次函数的性质。
1、下列函数(1)y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中,是一次函数的有()
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
学会用两点法画出一次函数的图像,这两点分别是直线与坐标轴的交点.
一次函数()的图象是一条直线,通常也称为直线,特别的正比例函数
()的图象是经过原点的一条直线。
1、下列各点,在一次函数y=2x+6的图象上的是()
(A)(-5,4)(B)(-,1)(C)(4,20)(D)(-3,0)
一次函数有下列性质:(1)当时随的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;(2)当时,随的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降。
分别从K,b两个常量对函数图像的影响上展开,说明图像与这两常数的影响,以及常数对图像的控制。本质上理解函数图像变化原因。
先设待求函数关系式(其中含有未知的系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法叫做待定系数法。
(1)正比例函数经过点求该正比例函数的解析式;
(2)一次函数经过A、B两点,A点坐标为,B是关于y轴对称的一个点,求该一次函数的解析式
三、反比例函数
形如()的函数叫做反比例函数。
3、反比例函数,则m=。
4、当n取什么值时,是反比例函数
5、反比例函数,当时,随的增大而增大,则m的值是()
(A)(B)实数(C)(D)1
6、当取哪些值时,是反比例函数
反比例函数()还可写作
提示:长用来根据点的坐标求,常用来求反比例函数解析式。
反比例函数图象是双曲线。
反比例函数有下列性质:
当时,函数图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内随的增大而减小。
当时,函数图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内随的增大而增大。
说明常数K与函数图像质检的关系
如图,过双曲线上任一点作轴、轴的垂线PM、PN,
所得的矩形PMON的面积
因为,所以,
所以既过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线,
所得矩形的面积为。
,、为反比例函数()的图象上任意两点,、分别垂直于轴于、,则、面积的大小关系( )
(A) (B)
(C) (D)无法确定
,自变量的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
,下表中列出了部分对应值,则m等于()
(A)3(B)6(C)(D)
()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
,表示直线的是()
,那么点P的应该位于()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象大致形状是()
,则这个函数的图象一定经过点()
(A)(B)(C)(D)
,正确的函数图象是()
,下列说法不正确的是()
点在它的图象上;
它的图象在第一、三象限
当时随的增大而增大
当的随的增大而减小
、三象限,则m的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
,那么()
(A)(B)(C)(D)
、、是反比例函数的图象上的三点,且,则的大小关系是()
(A)(B)
(C)(D)
,点A是反比例函数图象上的一点,自点A向轴做垂线,垂足为T,已知△AOT的面积为4,则此函数的表达式为()
(A)(B)
(C)(D)
,、为反比例函数()的图象上任意两点,、分别垂直于轴于、,则、面积的大小关系( )
(A) (B)
(C) (D)无法确定
,写出一个符合这个条件的一次函数解析式函数。
,则m的值为。
,B,C,D各点的坐标。
,已知直线经过点与点,另一条直线经过点B且与轴相交于
求直线的函数解析式;
若△APB的面积为3,求m的值。
,是反比例函数?它的图象在第几象限内?在每个象限内,y随x增大而增大或是减小?
,在直角坐标系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数的图象经过点A。
求点A的坐标;
如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B且OB=AB,求这个一次函数解析式。
附加题
:如图①,平面内两条直线、相交于点O,对于平面内的任意一点M,若p、q分别是点M到直线和的距离(P≥0,q≥0),称有序非负实数对是点M的距离坐标。
根据上述定义,请解答下列问题:
如图②,平面直角坐标系xoy内,直线的关系式为,直线的关系式为,M是平面直角坐标系内的点。
(1)若,求距离坐标为时,点M的坐标;
(2)若,且,利用图②,在第一象限内,求距离坐标为时,点M的坐标;
(3)若,则坐标平面内距离坐标为时,点M可以有几个位置?并用三角尺在图③画出符合条件的点M(简要说明画法)。
图①
图②
图③