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:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
若用a、b为表示两条直角边,c表示斜边,则,其中
:勾股定理是通过面积拼图法来证明,其方法较多.
:
在三角形中,若两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形为直角三角形;即在△ABC中,若,则△ABC为直角三角形,∠C=.
:(3、4、5);(6、8、10);(9、12、15);(12、16、20);
(15、20、25);(5、12、13);(10、24、26);(15、36、39);(8、15、17);
(16、30、34);(7、24、25)等;将这些数扩大或缩小相同倍数后,它们仍然
满足勾股定理,但不一定是勾股数(因为勾股数是正整数)!
(或逆定理)的应用:
(1)直接利用勾股定理,由直角三角形的已知边求未知边:
①只有一边为未知数;
②有两边为未知数,但能用一个未知数表示;
③求直角三角形斜边上的高通常采用“等面积法”;
(2)添加辅助线,在图中构造出直角三角形,运用勾股定理求未知边.
(有时还要借助方程、方程组和代数运算);
有些代数问题,其数量关系具有“勾股关系”,根据这种关系设计、构造出相应的几何
图形,然后借助图形的几何性质去解决代数问题,这就是“数形结合”的思想.
对立体图形问题,将其表面或侧面展开转化成平面问题,构造直角三角形,运用勾股
定理计算;
(5)注意勾股定理或逆定理在解题中的格式!
第七章《平行线的证明》知识点
为什么要证明
因为通过观察、实验、归纳得到的结论是不可靠的,故必须要证明;
证明:从条件出发,结合已经学过的定义、公理、定理、性质等一步一步推导出结论的过程(即演绎推理的过程)称为证明.
定义与命题
定义:对名称和术语的含义加以描述,做出明确的规定.
命题:判断一件事情的句子,叫做命题.
每个命题都由条件和结论两部分组成,都可以写成“如果......那么......”的形式,
“如果”引出的是条件,“那么”引出的是结论;
命题分为真命题和假命题,真命题需要证明,假命题只需要举一个反例.
学过的八条基本事实(公理)
两点确定一条直线;(2)两点之间线段最短;
(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(4)同位角相等,两直线平行;
(5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;
(7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;
(8)三边分别相等的两个三角形全等.
部分性质定理:
同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等;
三角形的任意两边之和大于第三边;
内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;
两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;
两直线平行,同为角相等;
平行于同一条直线的两条直线平行;
三角形的内角和等于1800,外角和等于3600;
三角形的一个外角的能够与和它不相邻的两个内角的和;
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
第二章《实数》知识点
实数:
无理数:无限不循环小数叫做无理数;
实数:有理数和无理数统称实数;实数与数轴上的点是一一对应关系.
实数的表现形式:①无限不循环小数,...等;②开方开不尽的数等;③特殊的数,如π,1-π,,等.
有些数本质上不是无理数,如
平方根与立方根:
①平方根:若x2=a,则x叫做a的平方根,记作;
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
②算术平方根:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根,即;
0的算术平方根是0;
(只有非负数才有平方根和算术平方根)
③立方根:若x3=a,则x叫做a的立方根,记作;
正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.
(任何实数都有立方根)
二次根式:
二次根式:形如的式子叫做二次根式;被开方数a≥0且
二次根式的运算:
乘法:(可以逆算)
(条件a≥0);(a为任意实数).
(2)除法:(条件a≥0,b>0,可以逆算)
(3)加减法:
①最简二次根式的条件:
①根号内不含开方开得尽的因数;②分母中不含根号;③根号中不含分母;
②分母有理化(化去分母中的根号):常见的两种形式
单项式型:如,等;
多项式型:如
③同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则称它们是同类二次根式,同类二次根式可以像同类项一样合并;(不是同类二次根式不能合并).
二次根式的混合运算:
先乘方开方,再乘除,最后合并同类二次根式(可同步采用运算律简化运算)
第六章《数据的分析》知识点
“三数”(平均数、中位数、众数)刻画数据“更......”
1、平均数:
①算术平均数:
②加权平均数:
③参照平均数:.
2、中位数:n个数据按大小顺序排列后,处于最中间位置的一个数据(或最中间位置两个
数据的平均数)叫做这组数据的中位数,中位数只有一个,可能在数据中,也
可能不在数据中.
3、众数:一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数;众数可能不只一个.
平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量.
平均数要求所有数据参与计算,但容易受端点值的影响;中位数计算简单,受端点值影响较小,但不能利用所有数据的信息;众数是多次重复的数据,人们颇为关心,但各数据重复次数一样时,众数没有特别意义.
不同的研究者对“三数”的关注程度不一样!
“三图”(折线统计图,条形统计图,扇形统计图)分析数据的集中趋势
三个统计图均能比较容易看出一组数据的众数,可以求出中位数,平均数.
三、“三差”(方差、标准差、极差)刻画数据的离散程度(即波动性稳定性大小)
①方差:,其中
(方差的四步求法:求平均数、作差、平方、求平均数)
②标准差:S(方差的算术平方根);
③极差:d=最大数据-最小数据;
一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据越稳定(方差和标准差运用较多)
第三章《位置与坐标》
一、确定位置:
1、数轴上,确定一个点的位置,只需要一个数据;
2、平面上,确定一个点的位置,需要两个数据;
3、空间中,确定一个点的位置,至少需要三个数据.
二、平面直角坐标系:
1、定义:在平面上,
为x轴(或横轴),向右为正;铅直方向为y轴,向上为正;公共原点O为坐标原点.
平面内一个点P的位置由有序实数对(x,y)即坐标来确定,有序实数对(x,y)与点P
的位置是一一对应的关系.
3、P(x,y)在平面内的坐标特征
4、平行于坐标轴的直线上点的坐标的特点
坐标系中对称点的坐标特点
如何建立适当的坐标系,求点的坐标(力求简捷);
坐标系中求图形的面积,可用割补法(向坐标轴作垂线,构造简单图形,求面积的和差)
坐标系中求两点(所确定的直线不与坐标轴平行)之间的距离,可构造Rt△,利用勾股定理来求.
第四章《一次函数》知识点
函数:
定义:在一个变化过程中有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
函数的表示方法:列表法、关系式法、图象法.
列函数关系式的要求:用自变量x的代数式表示因变量y.
利用函数关系式求x和y的值.
一次函数与正比例函数:
定义:
图象及画法:一次函数的图象是一条直线,任取两点如(0,b)和就可画出;
正比例函数图象是过原点的直线,除原点O(0,0)外,再找一点(1,k)就可画出.
图象及性质:
①对正比例函数y=kx
增减性:k>0,y随x的增大而增大,k<0,y随x的增大而减小,反之亦然.
区域性:k>0,图象经过一、三象限,k<0,图象经过二、四象限,反之亦然.
②对一次函数y=kx+b
增减性:k>0,y随x的增大而增大,k<0,y随x的增大而减小,反之亦然.
区域性:k>0,b>0,图象经过一、二、三象限;k>0,b<0,图象经过一、四、三象限,
k<0,b>0,图象经过二、一、四象限;k<0,b<0,图象经过二、三、四象限.
③一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移而来.
b>0,沿y轴向上平移b个单位,b<0,沿y轴向下平移个单位.
待定系数法求一次函数的表达式:
设(设表达式),列(代入坐标列方程组),解(求出k、b),写(写出函数关系式).
一次函数图象的交点求法:
①求与x轴的交点坐标,令y=0,求x,即(x,0);
②求与y轴的交点坐标,令x=0,求y,即(0,y);
③求两直线的交点坐标,联立函数关系式解方程组,求出的解就是交点坐标(x,y).
一次函数的应用:
①函数自变量x的取值范围;②观察图象读取有用信息点;
③根据分段图象,求分段函数表达式;④利用函数图象比较函数值的大小;
⑤动态几何求函数表达式;⑥动态几何如何进行图形的分类.
第五章《二元一次方程组》知识点
基本概念:
二元一次方程:
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程的解:
适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.
二元一次方程组:
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
二元一次方程组的解法:
①代入消元法:将有一个方程变形,用一个未知数的代数式表示另一个未知数,进行代入达
到消去一个未知数的目的.
②加减消元法:将两个方程中同一个未知数的系数化为相反或相同,进行相加或相减达到消
去一个未知数的目的.
三元一次方程组的解法:
同二元一次方程组一样,利用(代入或加减)进行逐步消元:化三元为二元,化二元为一元求解.
二元一次方程与一次函数的关系:
①待定系数法求一次函数的表达式:解二元一次方程组求k,b,可求得一次函数的表达式;
②方程组的解就是一次函数图象的交点坐标(x,y).
③对方程组有
二元一次方程组的应用:
解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.
①数字关系类:(画方框表示数位及数位上的数字)
②行程关系类:(画线段表示路程之间关系)
③数据计算比较类:(画表格表示数量之间的关系)
④利润(比率)类:(画表格表示数量之间的关系)