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勾股定理
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.
(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,:两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高,三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边,所以两个小三角形均为等腰直角三角形,则两腰相等);
(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1,则外接圆的半径R=2+1,所以r:R=1:2+1.
勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.
(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:a=c2-b2,b=c2-a2及c=a2+b2.
(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
说明:
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.
②勾股定理的逆定理将数转化为形,.
(2).
注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.
勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
说明:
①三个数必须是正整数,例如:、6、+b2=c2,但是它们不是正整数,所以它们不是够勾股数.
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.
③:3,4,5;5,12,13;8,15,16;7,24,25
①勾股定理在几何中的应用:利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度.
②由勾股定理演变的结论:分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形,以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.
③勾股定理在实际问题中的应用:运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用:利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
实数
、定义:无限不循环小数叫做无理数.
说明:无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,、2的平方根等.
(2)、无理数与有理数的区别:
①把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数和无限循环小数,
比如4=,13=…而无理数只能写成无限不循环小数,比如2=.
②所有的有理数都可以写成两个整数之比;而无理数不能.
(3)学****要求:会判断无理数,了解它的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,如分数π2是无理数,因为π是无理数.
定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.
(2)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
一个正数a的正的平方根表示为“a”,负的平方根表示为“-a”.
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根,.
算术平方根的概念:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,.
(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根a本身是非负数.
(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算,在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.
非负数的性质:算术平方根具有非负性.
(2)利用算术平方根的非负性求值的问题,主要是根据被开方数是非负数,,各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题.
定义:如果一个数的立方等于a,,如果x3=a,:a3.
(2)正数的立方根是正数,0的立方根是0,.
(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中a叫做被开方数.
注意:符号a3中的根指数“3”不能省略;对于立方根,被开方数没有限制,正数、零、负数都有唯一一个立方根.
,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.
估算无理数大小要用逼近法.
思维方法:用有理数逼近无理数,求无理数的近似值.
实数与数轴上的点是一一对应关系.
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之,,不是有理数,就是无理数.
(2)在数轴上,表示相反数的两个点在原点的两旁,并且两点到原点的距离相等,实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离.
(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小.
.
(2)实数的绝对值:正实数a的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
(3)实数a的绝对值可表示为|a|={a(a≥0)-a(a<0),就是说实数a的绝对值一定是一个非负数,即|a|≥|x|=a(a≥0),则x=±a.
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数,即若a与b互为倒数,则ab=1;反之,若ab=1,则a与b互为倒数,这里应特别注意的是0没有倒数.
实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.
另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
①“”称为二次根号
②a(a≥0)是一个非负数;
二次根式的基本性质:①a≥0;a≥0(双重非负性).②(a)2=a(a≥0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式).
③a2=a(a≥0)(算术平方根的意义)
(2)二次根式的化简:①利用二次根式的基本性质进行化简;②=a•bab=ab
(3)化简二次根式的步骤:①把被开方数分解因式;②利用积的算术平方根的性质,把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来;③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2.
最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.
最简二次根式的条件:(1)被开方数的因数是整数或字母,因式是整式;(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.
如:不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a(a≥0)、x+y等;
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、(x+y)2、x2+2xy+y2等.
积的算术平方根性质:a•b=a•b(a≥0,b≥0)
(2)二次根式的乘法法则:a•b=a•b(a≥0,b≥0)
(3)商的算术平方根的性质:ab=ab(a≥0,b>0)
(4)二次根式的除法法则:ab=ab(a≥0,b>0)
分母有理化是指把分母中的根号化去.
两个含二次根式的代数式相乘时,它们的积不含二次根式,这样的两个代数式成互为有理化因式.
一个二次根式的有理化因式不止一个.
同类二次根式的定义:
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
合并同类二次根式的方法:
只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变
法则:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.
(2)步骤:
①如果有括号,根据去括号法则去掉括号.
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.
③合并被开方数相同的二次根式.
(3)合并被开方数相同的二次根式的方法:
二次根式化成最简二次根式,,只合并根式外的因式,即系数相加减,被开方数和根指数不变.
二次根式的混合运算是二次根式乘法、:
①与有理数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“.
(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.
(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
二次根式的化简求值,一定要先化简再代入求值.
二次根式运算的最后,注意结果要化到最简二次根式,二次根式的乘除运算要与加减运算区分,避免互相干扰.
图形的平移与旋转
平移的概念
在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称平移.
2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相等.
3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离.
平移的条件
平移的方向、平移的距离
(2)平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,.
确定平移后图形的基本要素有两个:平移方向、平移距离.
旋转的定义:在平面内,,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做对应点.
(2)注意:
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换,因而旋转一定有旋转中心和旋转角,且旋转前后图形能够重合,这时判断旋转的关键.
②旋转中心是点而不是线,旋转必须指出旋转方向.
旋转的定义:在平面内,,转动的角叫做旋转角,如果图形上的点P经过旋转变为点P
′,那么这两个点叫做对应点.
(2)注意:
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换,因而旋转一定有旋转中心和旋转角,且旋转前后图形能够重合,这时判断旋转的关键.
②旋转中心是点而不是线,旋转必须指出旋转方向.
旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360°)后能与原图形重合,那么这个图形就叫做旋转对称图形.
(2)常见的旋转对称图形有:线段,正多边形,平行四边形,圆等.
旋转图形的作法:
根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.
(2)旋转作图有自己独特的特点,决定图形位置的因素较多,旋转角度、旋转方向、旋转中心,任意不同,位置就不同,但得到的图形全等.
平移变换:在平移变换下,(共线)且相等.(2)轴对称变换:在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分.(3)旋转变换:在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角.(4)位似变换:在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心.
四边形性质探索
:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.
(2):∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.
(5):∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.
运用定义,也可以判定某个图形是平行四边形,这是常用的方法,不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定定理还简单.
凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(2)菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质;
②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
(3)菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式.
②菱形面积=12ab.(a、b是两条对角线的长度)
①菱形定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形);
②四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言:∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”).
几何语言:∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
,中点四边形的形状始终是平行四边形.
(2)菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形.)(3)菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.
(4)正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不只是正方形.
性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点)
(2)定理:一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.
该定理可一用来判定直角三角形.
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有;
②角:矩形的四个角都是直角;
③边:邻边垂直;
④对角线:矩形的对角线相等;
⑤矩形是轴对称图形,,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.
(3)由矩形的性质,可以得到直角三角线的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定:
①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;
②有三个角是直角的四边形是矩形;
③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)
(2)①证明一个四边形是矩形,若题设条件与这个四边形的对角线有关,通常证这个四边形的对角线相等.
②题设中出现多个直角或垂直时,常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形.
关于矩形,应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性:一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质:是轴对称图形、内角都是直角、.
在处理许多几何问题中,若能灵活运用矩形的这些性质,则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.
(2)下面的结论对于证题也是有用的:①△OAB、△OBC都是等腰三角形;②∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC;③点O到三个顶点的距离都相等.
正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
(2)正方形的性质
①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;
②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.
正方形的判定方法:
①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;
②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角.
③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定.
梯形的定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
梯形中平行的两边叫梯形的底,其中较短的底叫上底,不平行的两边叫梯形的腰,两底的距离叫梯形的高.
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
(3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
边:有一条腰与底边垂直,另一条腰不垂直.
角:有两个内角是直角.
过不是直角的一个顶点作梯形的高,.
性质:
①等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是经过上下底的中点的直线;
②等腰梯形同一底上的两个角相等;
③等腰梯形的两条对角线相等.
(2)由等腰梯形的性质可知,如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高,可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形,因此可知等腰梯形是轴对称图形,而一般的梯形不具备这个性质.
利用定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形;
(2)定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.
(3)对角线:对角线相等的梯形是等腰梯形.
判定一个梯形是否为等腰梯形,主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等,可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中,利用三角形来证明角的关系.
注意:对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用.
中位线定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.(2)梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
(3)梯形面积与中位线的关系:
梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积,即
梯形的面积=12×2×中位线的长×高=中位线的长×高
(4)中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线.
多边形的概念:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
(2)多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
(3)正多边形的概念:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形,辨别凸多边形可用两种方法:①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180°,通常所说的多边形指凸多边形.
(5)重心的定义:平面图形中,多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态,此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点,或重心.
常见图形的重心(1)线段:中点(2)平行四边形:对角线的交点(3)三角形:三边中线的交点(4)任意多边形.
多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
(2)n边形从一个顶点出发可引出(n-3)(n-3)条,而每条重复一次,所以n边形对角线的总条数为:n(n-3)2(n≥3,且n为整数)
(3)对多边形对角线条数公:n(n-3)2的理解:n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线,故可连出(n-3),应为n(n-3)条,这样算出的数,正好多出了一倍,所以再除以2.
(4)利用以上公式,求对角线条数时,直接代入边数n的值计算,而计算边数时,需利用方程思想,解方程求n.
多边形内角和定理:(n-2).•80(n≥3)且n为整数)
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线,将n边形分割为(n-2)个三角形,这(n-2),,这也是研究多边形问题常用的方法.
(2)多边形的外角和等于360度.
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角,则n边形取n个外角,无论边数是几,其外角和永远为360°.
②借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论:外角和=180°n(n-2)•180°=360°.