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平行四边形
定义:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示:平行四边形用符号“□”来表示。
平行四边形性质:
平行四边形对边相等;平行四边形对角相等;平行四边形对角线互相平分
平行四边结论:
⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
⑵如果一个四边形的对角线互相平分,那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。
⑶平行四边形的对角相等,两邻角互补。
⑷过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
⑸平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点。
平行四边形的面积等于底和高的积,即S□ABCD=ah,其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边到其对边的距离,即对应的高。
平行四边形的判定:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线看:对角钱互相平分的四边形是平行四边形
从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点,则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积。
三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
特殊的平行四边形
矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也说是长方形
矩形的性质:
矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等
矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形具有平行四边形的一切性质
矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形:一组邻边相等)
性质:
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
正方形:
定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形。
性质:正方形既有矩形的性质,又有菱形的性质。
正方形是轴对称图形,其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线,也是中心对称图形,对称中心为对角线的交点。
梯形:
定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形:两腰相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形:有一个角是直角的梯形是直角梯形
等腰梯形的性质:
等腰梯形是轴对称图形,上下底的中点连线所在的直线是对称轴,
等腰梯形同一底边上的两个角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定定理
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
等腰梯形的判定方法:先判定它是梯形,再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。
解决梯形问题常用的方法:
1、“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形
2、“作高”:使两腰在两个直角三角形中
3、”平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中
4、”延腰”构造具有公共角的两个三角形
5、等积变形:连接梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形。