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1、向量有关概念:
(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向是任意的;
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量和任何向量平行。
提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有);④三点共线共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是-。
如下列命题:(1)若,则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若,则是平行四边形。(4)若是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确的是_______(答:(4)(5))
2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量,为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,=叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
:如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数、,使a=e1+e2。
如(1)若,则______(答:);
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
.
.(答:B);
(3)已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____(答:);
(4)已知中,点在边上,且,,则的值是___(答:0)
4、实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:当>0时,的方向与的方向相同,当<0时,的方向与
的方向相反,当=0时,,注意:≠0。
5、平面向量的数量积:
(1)两个向量的夹角:对于非零向量,,作,
称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当=时,,反向,当=时,,垂直。
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积,记作:,即=。规定:零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
如(a)△ABC中,,,,则_________(答:-9);
(b)已知,与的夹角为,则等于____(答:1);
(c)已知,则等于____(答:);
(d)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____(答:)
(3)在上的投影为,它是一个实数,但不一定大于0。
如已知,,且,则向量在向量上的投影为______(答:)
(4)的几何意义:数量积等于的模与在上的投影的积。
(5)向量数量积的性质:设两个非零向量,,其夹角为,则:
①;
②当,同向时,=,特别地,;当与反向时,=-;当为锐角时,>0,且不同向,是为锐角的必要非充分条件;当为钝角时,<0,且不反向,是为钝角的必要非充分条件;
③非零向量,夹角的计算公式:;④。
如(1)已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______(答:或且);
(2)已知的面积为,且,若,则夹角的取值范围是_________(答:);
(3)已知与之间有关系式,①用表示;②求的最小值,并求此时与的夹角的大小(答:①;②最小值为,)
6、向量的运算:
(1)几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,那么向量叫做与的和,即;
②向量的减法:用“三角形法则”:设,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。
如(a)化简:①___;②____;③_____(答:①;②;③);
(b)若正方形的边长为1,,则=_____(答:);
(c)若O是所在平面内一点,且满足,则的形状为____(答:直角三角形);
(d)若为的边的中点,所在平面内有一点,满足,设,则的值为___(答:2);
(e)若点是的外心,且,则的内角为____(答:);
(2)坐标运算:设,则:
①向量的加减法运算:,。如(1)已知点,,若,则当=____时,点P在第一、三象限的角平分线上(答:);(2)已知,,则(答:或);(3)已知作用在点的三个力,则合力的终点坐标是(答:(9,1))
②实数与向量的积:。
③若,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设,且,,则C、D的坐标分别是__________(答:);
④平面向量数量积:。
如已知向量=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),=(-1,0)。(1)若x=,求向量
、的夹角;(2)若x∈,函数的最大值为,求的值(答:或);
⑤向量的模:。
如已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=_____(答:);
⑥两点间的距离:若,则。如如图,在平面斜坐标系中,,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若,其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为。(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系中的方程。(答:(1)2;(2));
7、向量的运算律:(1)交换律:,,;
(2)结合律:,
;
(3)分配律:,。
如下列命题中:①;②;
③;④若,则或;
⑤若则;⑥;⑦;
⑧;⑨。其中正确的是______(答:①⑥⑨)
提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即,为什么?
8、向量平行(共线)的充要条件:=0。
如(1)若向量,当=_____时与共线且方向相同(答:2);
(2)已知,,,且,则x=______(答:4);
(3)设,则k=_____时,A,B,C共线(答:-2或11)
9、向量垂直的充要条件:.特别地。
如(1)已知,若,则(答:);
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是________(答:(1,3)或(3,-1));
(3)已知向量,且,则的坐标是________(答:)
:
(1)定比分点的概念:设点P是直线PP上异于P、P的任意一点,若存在一个实数,使,则叫做点P分有向线段所成的比,P点叫做有向线段的以定比为的定比分点;
(2)的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段PP上时>0;当P点在线段PP的延长线上时<-1;当P点在线段PP的延长线上时;若点P分有向线段所成的比为,则点P分有向线段所成的比为。
如若点分所成的比为,则分所成的比为_______(答:)
(3)线段的定比分点公式:设、,分有向线段所成的比为,则,特别地,当=1时,就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比。
如(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______(答:);
(2)已知,直线与线段交于,且,则等于_______(答:2或-4)
:如果点按向量平移至,则;曲线按向量平移得曲线
.注意:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?
(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
如(1)按向量把平移到,则按向量把点平移到点______(答:(-8,3));
(2)函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是,则
=________(答:)
12、向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
(2),
特别地,当同向或有;
当反向或有;
当不共线(这些和实数比较类似).
(3)在中,①若,则其重心的坐标为。
如若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则⊿ABC的重心的坐标为_______(答:);
②为的重心,特别地为的重心;
③为的垂心;
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线);
⑤的内心;
(3)若P分有向线段所成的比为,点为平面内的任一点,则,特别地为的中点;
(4)向量中三终点共线存在实数使得且.
如平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______(答:直线AB)