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十、平面直角坐标系与一次函数
有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对,记作(a,b).注意(a,b)中的a,b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念
(1)在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,平面直角坐标系也简称直角坐标系。通常,两条数轴分别位于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫X轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,X轴和y轴统称坐标轴,两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。(2)如图1,对于平面内任意一点P,过点P分别向X轴、Y轴作垂线,垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义
(1)建立平面直角坐标系后,平面上的任意一点都可以用一对有序实数对(即坐标)来表示,且任一有序实数对都表示平面内唯一确定的点,所以点的坐标是属性结合的桥梁,为解决几何、代数问题提供了便利,且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。(2)建立直角坐标系后,可以由点的坐标确定点的位置,也可由点的位置写出点的坐标,由已知点的位置求出未知点的位置。
(3)可灵活运用多种方式确定点的位置,并在同一坐标系中,感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
如图2,点A是平面直角坐标系内的一点,由点A向x轴做垂线,垂足在x轴上的坐标是2,在Y轴上的坐标是-4,合起来A的坐标记作(2,-4)。横坐标写在前面。类似地,点B的坐标为(-2,0),点C的坐标是(0,4)。
设点P的坐标为(a,b),在平面直角坐标系中描出这个点的方法是:先在X轴上找到坐标是a的点A,在y轴上找到坐标是b的点b,在分别从点A,点B作X轴,Y轴的垂线,两垂线的交点就是所要描出的点P。(如图3)
坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的,也可以说坐标平面内的点可以分成六个区域:x轴上,y轴上,第一象限中,第二象限中,第三象限中,第四象限中。在这六个区域中,除X轴和y轴的一个公共点(原点)之外,其它区域之间都没有公共点。如图4,点A在第一象限,点B在第二象限,点C在第三象限,点D在第四象限,点E在x轴上,点F在y轴上,点O为原点。
坐标平面内的点P(a,b)的坐标特征:
(1)第一、第三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等,一般记作(a,a);(2)第二、第四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数,一般记作
(a,-a).
(1)与X轴平行的直线上各点的纵坐标都相等;(2)与Y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。
若A(a1,b1),B(a2,b2)在平行于X轴的直线上,则a1?a2,b1?b2;在平行于Y轴的直线上,则a1?a2,b1?b2。
若点P(a,b)在第一、三象限夹角的平分线上,则y=(a,b)在第二、四象限夹角的平分线上,则y=-x.
、y轴及到原点的距离及任意两点间距离
(1)点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到Y轴的距离为|a|.(2)点P(a,b
(3)平面内任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b
2)的距离为:P1P2?
。
(1)不能确定点所在的象限
例题1:点A(x,y)的坐标满足xy>0,试确定点A所在的象限。错解:因为xy>0,所以x>0,y>0,所以点A在第一象限。
错解分析:本题出错的原因在于漏掉了当x<0,y<0时,xy>0的情况,此时点A在第三象限。正解:因为xy>0,所以x、y同号,即x>0,y>0或x<0,y<0。当x>0,y>0时,点A在第一象限;当x<0,y<0时,点A在第三象限。(2)点到x轴、y轴的距离易混淆
例题2:求点A(-3,-4)到坐标轴的距离。
错解:点A(-3,-4)到X轴的距离为3,:错误的原因是误以为点A(X,Y)到x轴的距离等于|x|,到Y轴的距离等于|y|,事实上,点A(X,Y)到x轴的距离等于|y|,到Y轴的距离等于|x|.不熟悉时,可结合图形进行分析。正解:点A(-3,-4)到X轴的距离为4,到Y轴的距离为3.
、轴对称、伸长、压缩之间的关系
设A(a,b)为原图案上任一点,经某种变换后,得到新图案上一对应点A(a,b)。(1)设n为大于或等于1的正整数,点A(a,b)为某一图案上任一点。
'
①若纵坐标保持不变,横坐标变成原来的n倍。即点A(a,bA(na,b),所得图案与原图案相比,被横向拉长为原来的n倍。②若纵坐标保持不变,横坐标变成原来的与原图案相比,被横向拉长为原来的③类似地,若A(a,b)④若A(a,b⑤若A(a,b)
'
'''
an
倍。即点A(a,b)A(na,b),所得图案
'
1n
。
A(a,nb),则所得图案被纵向拉长为原来的n倍。
bn
),则所得图案被纵向拉长为原来的
'
'
(a'
1n
。
(na,nb)或A(a,b)?A(,),则所得图案被纵向拉长为原来的
nn
ab
n倍或原来的
2
1n
2
.
'
(2)若A?a,b??A(a?n,b),则所得图案与原图案相比,大小、形状不变,图案向右或向左平移了n个长度单位。
(3)若A?a,b??A(a,b?n),则所得图案与原图案相比,大小、形状不变,图案向上或
'
向下平移了n个长度单位。
(4)若A(a,b)?A'(a,?b),则所得图案与原来图案关于x轴对称。(5)若A(a,b)?A'(?a,b),则所得图案与原来图案关于y轴对称。
(6)A(a,b)?A'(?a,?b),则所得图案与原来图案关于原点O成中心对称图形。
,图形的变化与坐标变化的关系
(1)图形的平移
①横坐标保持不变,纵坐标分别加上3,图形保持形状、大小不变,被向上平移了3个单位;
②纵坐标保持不变,横坐标分别加上3,图形保持形状、大小不变,被向右平移了3个单位。
(2)图形的轴对称
①横坐标保持不变,纵坐标分别乘以-1,所得图形与原图形关于X轴对称;②纵坐标保持不变,横坐标分别乘以-1,所得图形与原图形关于y轴对称;③横坐标分别乘以-1,纵坐标分别乘以-1,所得图形与原图形关于原点对称。(3)图形的伸长
横坐标、纵坐标分别变成原来的3倍,所得图形与原图形相似,形状不变,大小改变了(变为原来的9倍)。(4)图形的压缩
横坐标、纵坐标分别变成原来的1/3,所得图形与原图形相似,形状不变,大小改变了(变为原来的1/9)。
(5)常见的对称关系
(1)点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A1(a,-b);(2)点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A2(-a,b);(3)点A(a,b)关于原点对称的点的坐标为A3(-a,-b);
(4)点A(a,b)关于第一、第三象限的平分线对称的点的坐标为A4(b,a);(5)点A(a,b)关于第二、第四象限的平分线对称的点的坐标为A5(-b,-a).识记点:点的坐标变化与图形的变化(平移、轴对称、伸长、压缩)之间的关系
注意点:点的变化与图形的变化是一个互逆的过程,即点的变化可引起图形的变化;反之,由图形的变化可反映点的坐标变化。
易错点:易混淆点的坐标变化与图形变化间的对应关系。
技巧点:图形的变化及点的坐标变化应有机地结合在一起,要善于观察图形的位置变化。在研究两者变化关系时,可选取代表点研究它们位置关系的变化及坐标的变化,从而分析、总结出图形及坐标的变化特征。
例题:平面直角坐标系中,有一点A的坐标为(5,4),能否经过适当的变化,使其坐标变成(3,2)呢?
解:能,先将点A沿着纵轴方向向下平移2个单位得点A1(5,2),在将A1沿着横轴方向向左平移2个单位即得点B(3,2)。思考:想一想还有其他方法吗?
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和Y,如果在x的允许范围内给定一个x值,相应地就唯一确定了一个Y值,称x是自变量,y是因变量,y是x的函数。如汽车的速度一定,路程s是时间t的函数。
例题:下列变化过程得出的函数关系式是否正确,如果错误,请写出正确的结果;如果正确,请写出式子中的自变量和因变量。
(1)设一长方体盒子高为8cm,底面是正方形,这个长方形的体积V?cm3?与底面边长a(cm)的关系式为V=8a3;
(2)小军计划用20元购买练****本,所能购买的总数n(本)与单价a(元)的关系式为n=20/a;(3)小茜用总长为60cm的铁丝围成一个矩形,矩形的面积S(cm2)与一边长l(cm)之间的关系式为s=l(60-l).解:(1)正确,a是自变量,V是因变量;(2)正确,a是自变量,n是因变量;(3)错误,应为S=l(30-l).
(1)在一个变化过程中必须有两个变量x和y,如x+y=3,x-y=5,xy=4,y=5x+6等。
(2)对于自变量x的取值,必须要使代数式有意义,如y=2x+1中自变量可以从实数范围内
取值:y?2x?1?0,另外,在实际问题中,自变量x的取值必须有实际的意义,如多边形边数、人数、机器数……要为正数,时间要为非负数等。(3)函数的实质是揭示了两个变量之间的关系:x每取一个值,Y要有一个且只有一个值与之对应,否则y就不是x
的函数,如y?
y就不一定是x的函数,因
为在x<0时,x取一个值,如x=-2,y就没有一个值与它对应,所以在x<0时,y就不是x的
函数;在如y?x?0),当x=4时,y??2,此时y有两个值与x对应,所以y就不是x的函数。
(4)判断两个函数是不是同一个函数,应该以自变量的取值范围,函数y的取值范围,函数解析式是否一致来判断。如①y=x和②y?等于0的实数,所以y=x与y?
x
2
x
2
x
,其中①的x可以取任意实数,②中x取不
x
不是同一个函数。
对于一个函数,当自变量x=a时,我们可以求出与它对应的y的值,我们就说这个值是当x=a时的函数值。
注意:对于一个函数,可能有若干个函数值,x取不同的值,函数值可能不相同,因此应该说明自变量x取什么值时,如函数y=x-3,当x=0时的函数值-3;x=3时的函数值为0……,所以不能简单地说函数Y=X-3的函数值是3.