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第一章有理数及其概念
:包含正整数和负整数,分数包含正分数和负分数。正整数和正分数通称为正数,负整数和负分数通称为负数。正整数和负整数通称为自然数
:都比0大,负数比0小,0既不是正数也不是负数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。
数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。
任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数)
:只有符号不同的两个数互为相反数,互为相反数,0的相反数是0。
在任意的数前面添上“-”号,就表示原来的数的相反数。
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。
:数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,用“||”表示。
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
0
-1
-2
-3
1
2
3
越来越大
或
即:当是正数时,;当是负数时,;当=0时,
:除0外,绝对值为一正数的数有两个,它们互为相反数;
互为相反数的两数(除0外)的绝对值相等;
任何数的绝对值总是非负数,即|a|≥0
①对任何有理数a,都有|a|≥0
②若|a|=0,则|a|=0,反之亦然
③若|a|=b,则a=±b
④对任何有理数a,都有|a|=|-a|
,绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下:
①先求出两个数负数的绝对值;
②比较两个绝对值的大小;
③根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
,绝对值大的反而小。
,右边的总比左边的大。
第二章有理数的运算
:·同号两个数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
·异号的两个数相加,绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得0.
·一个数同0相加仍得这个数
,使用运算简化,通常有下列规律:
①互为相反的两个数,可以先相加;
②符号相同的数,可以先相加;
③分母相同的数,可以先相加;
④几个数相加能得到整数,可以先相加。
:
:
:减去一个数等于加上这个数的相反数。
:两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。任何数与0相乘积仍得0。
“变”:①改变运算符号;
②改变减数的性质符号(变为相反数)
“不变”:被减数与减数的位置不能变换,也就是说,减法没有交换律。
有理数的加减法混合运算的步骤:①写成省略加号的代数和。在一个算式中,若有减法,应由有理数的减法法则转化为加法,然后再省略加号和括号;
②利用加法则,加法交换律、结合律简化计算。
(注意:减去一个数等于加上这个数的相反数,当有减法统一成加法时,减数应变成它本身的相反数。)
:如果两个数互为倒数,则它们的乘积为1。(如:-2与、…等)
:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
②任何数与0相乘,积仍为0。
:
:
:
乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
:①先确定积的符号;
②求出各因数的绝对值的积。
乘积为1的两个有理数互为倒数。注意:
①零没有倒数
②求分数的倒数,就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。
:·除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。
·两个有理数相除,同号得正,异号得负,绝对值相除。0除以任何数都得0,且0不能作除数,否则无意义。
:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。
指数
底数
幂
在中叫做底数,n叫做指数,读作的n次幂(或的n次方)。
注意:①一个数可以看作是本身的一次方,如5=51;
②当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。
:
①正数的任何次幂都是正数;
②负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
③任何数的偶数次幂都是非负数;
④1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0;
⑤-1的偶次幂得1;-1的奇次幂得-1;
⑥在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。
:①先算乘方,再算乘除,最后算加减。
②如果有括号,先算括号里面的。
:·先算乘方,再乘除,后加减;
·同级运算,从左到右进行;
·如有括号,先算括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
:
与实际相符的数,叫做准确数
与实际接近的数,叫近似数
:一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位这时,从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字
例题精讲
1、(-3)3÷2×(-)2–4-23×(-)2、-32+(-2)3–()2×(-10)3
3、--(-3)++(-7)4、(-23)-(-5)+(-64)-(-12)
5、如果,求的值.
考点二、运用运算律进行简便运算
1、-(-)+-+(-)2、(-+-+)×(-12)
3、()×36-6×+×64、49×(-5)
考点三、与数轴相关的计算或判断
1、已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,下列错误的是()
A、b+c<0 B、-a+b+c<0 c b0a
C、|a+b|<|a+c| D、|a+b|>|a+c|
2、a,b在数轴上的位置如图所示,则a,b,a+b,a-b中,负数的个数是( )
3、,则必有( )
>-ac>0C.(a+b)c>0D.(a-c)b>0
4、有理数a,b在数轴上的位置如图所示,则在a+b,a-b,ab,,s这五个数中,正数的个数是( )
5、有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示,则()
+b<+b>-b=-b>0
6、a、b在数轴上的位置如图,化简=,=,=。
考点四、带绝对值的分类讨论
1、若,则a和b的关系是
2、;。
3、已知a和b互为相反数,c和d互为倒数,x的绝对值是1,则。
4、已知ab>0,试求的值。
考点五、求汽车来回运动最后停在何处的问题
1、体现社会对教师的尊重,教师节这一天上午,出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。如果规定向东为正,向西为负,出租车的行程如下(单位:千米):+15,-4,+13,―10,―12,+3,―13,―17。
(1)当最后一名教师到达目的地时,小王距离接送第一位教师的出发地什么方向,多少千米?
(2),这天下午汽车共耗油多少升?
考点六、科学计数法及近似数的综合
1、×109精确到位;;
2、,则它的精确值x的取值范围是()
<x<≤x<<x≤<x<
3、我国20XX年参加高考报名的总人数约为1230万人,则该人数可用科学记数法表示为人。
4、×109是位整数;62100…00用科学计算数表示为
30个0
考点七、基准量是否发生变化的应用题
1、股民小王上星期五买进某股票1000股,每股25元,下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况(单位:元):(+表示收盘价比前一天涨)
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌(元)
+2
+
-
-
-
(1)星期四收盘时,每股是多少元?
(2)本周内最高价是每股多少元?最低价是每股多少元?
(3)‰的手续费,‰()的手续费和3‰的交易税。如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出,他的收益情况如何?(收益=卖股票收入-买股票支出-卖股票手续费和交易税-买股票手续费)
(4)谈谈你对股市的看法:
2、某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车,由于工人实行轮休,每日上班的人数不一定相等,实际每日的生产量与计划量相比较的情况如下表。记超出的为正,不足的为负;(单位:辆):
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减量
-5
+7
-3
+4
+9
-8
-25
(1)本周六生产了多少辆?
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆?
(3)用简便方法算出本周实际总产量
实数
知识框图
一个数的平方等于a,这个数叫a的平方根
定义
有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样
负无理数
负有理数
零
无理数
正无理数
正有理数
有理数
运算
性质
分类
实数
立方根
正数的正平方根称为算术平方根,0的算术平方根是0
一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数
平方根
求一个数的平方根的运算叫做开平方,可用平方运算求一个数的平方根
开平方
一个正数a的平方根表示成:±(读做“正、负根号a”),其中a叫做被开方数。如3的平方根是:±,那么4的平方根是:
符号表示
定义
性质
熟记:算术平方根等于它本身的数是0和1
算术平方根
实数
零的平方根是零;负数没有平方根
性质
熟记:平方根等于它本身的数是0
求一个数的平方根的运算叫做开平方,可用平方运算求一个数的平方根
开立方
一个数a的立方根表示成:,其中a叫做被开方数。
如3的立方根是:,那么-8的立方根是:
符号表示
熟记:立方根等于它本身的数是0,1和-1
一个正数有一个正的立方根,一个负数有一个负的立方根,0的立方根是0
一个数的立方等于a,这个数叫a的立方根
性质
定义
无限不循环小数
有限小数或无限循环小数,都可以写成形式(M、N均为整数,且N≠0)
注意掌握以下公式:①②
将考点与相关****题联系起来
考点一、关于“……说法正确的是……”的题型
1、下列说法正确的是()
2、有下列说法:①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④-是17的平方根。其中正确的有()
3、下列结论中正确的是()
考点二、有关概念的识别
1、下面几个数:,…,,3π,,,其中,无理数的个数有()
2、下列说法中正确的是()
±3 ±1 C.=±1
3、一个自然数的算术平方根为a,则与之相邻的前一个自然数是
考点三、计算类型题
1、设=a,则下列结论正确的是()
<a< <a< <a< <a<
4、对于有理数x,的值是
3、4、4(x-1)2=9
考点四、数形结合
,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______
2、如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是()
A.---D.-2
考点五、实数绝对值的应用
1、||+||-||
考点六、实数非负性的应用
:,求实数a,b的值。
(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
第四章代数式
如用“a+b=b+a”表示加法的交换律就非常地简洁明了
关于整式加减的简单应用:如求图形的面积等
整式的加减
整式加减的步骤:先去括号,再合并同类项
去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前是“—”,把括号和它前面的“—”号去掉,括号里各项都改变符号
合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母与字母的指数不变
合并同类项:把多项式中的同类项合并为一项的过程叫做合并同类项
多项式的命名:几次几项式
常数项:不含字母的项叫做常数项
多项式的次数:次数最高的项的次数就是这个多项式的次数
多项式的项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项
多项式定义:由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式
次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的的次数
系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数
定义:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式。特别规定:单独一个数或一个字母也叫单项式
多项式
整体代入法
直接代入法
代数式的值
列代数式:特别注意找规律这种类型的题目
意义:代数式可以简明地、具有普遍意义地表示实际问题中的量
单项式
同类项:多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项
合并同类项
整式
概念:由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式,这里的运算是指加、减、乘、除、乘方和开方。特别规定:单独一个数或者一个字母也称为代数式
举例
意义:能把数和数量关系一般化地、简明地表示出来
代数式
用字母表示数
代数式
关于代数式分类的拓展
将考点与相应****题联系起来
考点一、关于代数式的书写是否正确的问题
1、下列代数式书写规范的是()
÷-·3
2、下列代数式书写规范的是()
÷×
考点二、关于去括号的问题
1、下列运算正确的是()
A.-3(x-1)=-3x-1B.-3(x-1)=-3x+1C.-3(x-1)=-3x-3D.-3(x-1)=-3x+3
2、下列去括号中错误的是()
-(x-3y)=2x2-x++(3y2-2xy)=x2-2xy+3y2
-4(-a+1)=a2-4a-4D.-(b-2a)-(-a2+b2)=-b+2a+a2-b2
3、下列去括号,错误的有()个
①x2+(2x-1)=x2+2x-1,②a2-(2a-1)=a2-2a-1,③m-2(n-1)=m-2n-2,④a-2(b-c)=a-2b+c
4、去括号:-[-(1-a)-(1-b)]=
考点三、关于代数式中与概念有直接关系的题目
1、单项式中-πa2b的系数和次数分别是()
A.-,4B.,4C.-π,,3
,不是整式的是()
+a+1 + + D.+y
()
-3x的项是x2,3x C.,πa,a2+1都是整式 -2是二次二项式
4、若m,n为自然数,则多项式xm-yn-2m+n的次数是()
+n ,n中较大的数
5、下列各项式子中,是同类项的有()组
①-2xy3与5y3x,②-2abc与5xyz,③0与,④x2y与xy2,⑤-2mn2与mn2,⑥3x与-3x2
6、若A和B都是三次多项式,则A+B一定是()
7、已知-6a9b4和5a4mbn是同类项,则代数式12m+n-10的值为