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知识要点小结:知识点一:
椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的标准方程
,椭圆的标准方程:,其中
,椭圆的标准方程:,其中;注意:,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
,都有和;
.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
知识点三:椭圆的简单几何性质
椭圆:的简单几何性质
(1)对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为,,,
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。
②因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):(1);;;
(2);;;
(3);;;
知识点四:椭圆与的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法:
?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。
可借助右图理解记忆:
显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。
:
①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
、轴、原点对称的依据:
①若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
②若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
③若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变,则曲线关于原点对称。
△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段,有关角()结合起来,建立、之间的关系.
?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为,,用表示为。
显然:当越小时,越大,椭圆形状越扁;当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。