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圆的概念
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称
为半径,以点为圆心的圆记作“”,读作“圆”。
确定圆的基本条件:(1)、圆心:定位置,具有唯一性,(2)、半径:定大小。
半径相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够完全重合。
①连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,②圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧用符号“”表示,圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中,能过重合的两条弧叫做等弧。理解:弧在圆上,弦在圆及圆上:弧为曲线形,弦为直线形。
不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。
①三角形的三个顶点确定一个圆,经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆,圆心是三个角的角平分线的交点,他到三条边的距离相等:内心到三顶点的连线平分这三个角。
(补充)圆的集合概念1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫
中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。
1、点在圆内点在圆内;
2、点在圆上点在圆上;
3、点在圆外点在圆外;
解题注意点和圆的位置不确定性。
圆的对称性
圆是轴对称图形,他有无数条对称轴,每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合,这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。
直线与圆的位置关系:相交,相切,相离
如果圆O的半径为,圆心O到直线的距离为d,那么:
1、直线与圆相离无交点;
2、直线与圆相切有一个交点;
3、直线与圆相交有两个交点;
圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,那么:
外离(图1)无交点;
外切(图2)有一个交点;
相交(图3)有两个交点;
内切(图4)有一个交点;
内含(图5)无交点;
五、垂径定理(非常重要)
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙中,∵∥
∴弧弧
解题技巧:在圆中,解有关弦的问题时,常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。
圆心角定理
顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①;②;
③;④弧弧
七、圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角(或弧的度数)的一半。
即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角
∴
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙中,∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△中,∵
∴△是直角三角形或
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
注:忽略一条弦所对的弧有两条,所对的圆周角边有两种不同的角。
八、圆内接四边形
一般的,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆。
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补。
推论:圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。即:在⊙中,
∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵且过半径外端
∴是⊙的切线
(2)性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线,通常叙述为:“见切点连半径得垂直”。解决与圆的切线有关的问题时,常需要补充的线是作过切点的半径。
切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。
即:∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙中,∵弦、相交于点,
∴
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙中,∵直径,
∴
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即:在⊙中,∵是切线,是割线
∴
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:在⊙中,∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
两圆相切时,连心线必过切点,这一性质是由圆的对称性决定,两个圆组成的图形是轴对称图形,对称轴是经过两圆圆心的直线。
圆公共弦定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图:垂直平分。
即:∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
注:两圆相交时,依照两圆圆心和公共弦的位置,可分为两种情况:①两圆圆心在公共弦同侧,②两圆圆心在公共弦异侧。
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:中,;
(2)外公切线长:是半径之差;内公切线长:是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
把一个圆分成相等的弧,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做正多边形的外接圆。经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆。
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角,正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距。
正n边形的半径R与边心距r把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
(1)正三角形
在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在中进行,:
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在中进行,.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:(1)弧长公式:;
(2)扇形面积公式:
:圆心角:扇形多对应的圆的半径:扇形弧长:扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
=
(2)圆柱的体积:
(2)圆锥侧面展开图
(1)=
(2)圆锥的体积:
补充:
圆中四心:外心:各边垂直平分线的交点
内心:各角角平分线的交点
垂心:各边高线的交点
重心:各边中线的交点