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(一)长方体和正方体
长方体和正方体的特征:
形体
面
顶点
棱
关系
长方体
6个
至少4个面
是长方形
相对面
完全相同
8个
12
条
相对的棱
长度相等
正方体
是特殊
的长方
体
正方体
6个
正方形
6个面完全相同
8个
12
条
12条棱长度都相等
长方体和正方体的表面积:
概念:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积
计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或
正方体表面积=棱长×棱长×6或
注:不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升
1L=1000L1L=1L
长方体和正方体的体积(容积):
概念:物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或
长方体和正方体的体积=底面积×高或
(二)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
:用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:【任何整数都可以看作为分母是1的分数】
,可以用乘法计算。
,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
倒数的认识:
。
(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。【整数是分母为1的分数】
,0没有倒数。
(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。
(三)分数除法
分数除法:
:甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识:
:比表示两个数相除的关系。
、除法的关系:
相互关系
区别
比
前项
比号(:)
后项
比值
关系
分数
分子
分数线(-)
分母
分数值
数
除法
被除数
除号(÷)
除数
商
运算
:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法
来计算。
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?小盒呢?
分析:假设6个全是小盒球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个小盒:(80-8)÷6=12大盒:12+8=20检验
先假设再比较(与条件不符)进行调整得出结果检验
(五)分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:
加法的结合律:
乘法的交换律:
乘法的结合律:
乘法的分配律:
稍复杂的分数乘法实际问题:
(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷乙;甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;
(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-甲×几分之几
(增加、上升、提高)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷乙;甲=乙×(1+几分之几);乙=甲÷(1+几分之几)
(减少、下降、降低)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷甲;甲=乙÷(1-几分之几);乙=甲×(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:百分数后面不带单位名称。(常出现在判断题中)
百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:(一个数÷另一个数)×100%
生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率=油的重量÷油料重量×100%
命中率=命中次数÷总次数×100%
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:
利息=本金×利率×存期
折扣问题:
折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
、解题方法完全相同。
,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
【典型例题】
例1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的60%。甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
等量关系式:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度
解答:设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
x +60%x =48
 =48
x =30
60%x =30 × 60% =18
答:甲绳长30米,则乙绳长18米。
检验:30+18=48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18 ÷ 30=60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。
 
例2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个?
分析与解:排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
等量关系式:篮球 – 排球 =6个
解答:设篮球有x个,则排球有75%x个。
x -75%x =6
 =6
x =24
75%x =24 × =18
答:篮球有24个,排球有18个。
你会自己检验吗?   检验:24-18=6(个),符合篮球比排球多6个。
18 ÷ 24=75%,符合排球的个数是篮球的75%。
点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。
 
例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少人?
错误解法:设:女生有x人,男生就有140%x人。
140%x - x =40
 =40
x =100
140%x =100 × =140
分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出数量关系式:“女生人数 – 男生人数 =40”,根据此数量关系式列出方程。
正确解答:设男生有x人,女生就有140%x人。
140%x - x =40
 =40
x =100
答:男生有100人。
点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
 
例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有36只,比灰兔少20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
x -20%x =36
 =36                                                                            
x =45
答:灰兔有45只。
检验:45–45 × 20% =36 或 (45–36)÷ 45=  20%,符合题意。
 
例5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有48只,比灰兔多20%。灰兔有有多少只?
分析与解:白兔比灰兔多20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
x +20%x =48
 =48
x =40
答:灰兔有40只。
检验:40+40 × 20% =48 或 (48–40)÷ 40=  20%,符合题意。
点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。
 
例6、(难点突破)某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?如果想盈利25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1-25%)。盈利25%,说明盈利的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1+25%)。
解答:设原来成本是x元。
x -25%x =18
 =18
x =24
24 × (1+25%) =30(元)
答:原来成本是24元,应按30元出售该商品。
点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。
 
例7、(考点***)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,,两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?
分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:
从图中可以看出:两次一共运的吨数 -  第一次运的吨数 =,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:设这批水果一共有x吨。
62%x -22%x =
40%x =
x =
答:。
点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。
②男生人数比女生人数多20%。
③女生人数比男生人数少25%。
④加工一批零件,已完成了80%。   
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
2、根据所给信息,说出数量间的相等关系
①一条路,已修了全长的60%
②一种彩电,现价比原价降低10%
③松树的棵数比柏树多 
3、看图列式。
4、列式计算:
(1)一个数的75%比30的25%,求这个数。
(2)一个数的25%比它的75%少30,求这个数。
 
二、解决问题:
1、对比练****br/>(1)某工厂六月份用煤60吨,六月份比五月份少用煤25%,五月份用煤多少吨?
(2)某工厂六月份用煤60吨,五月份比六月份多用煤25%,五月份用煤多少吨?
2、一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌单价的60%,课桌和椅子的单价各是多少元?
3、果园里的梨树和苹果树共有360棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的20%。苹果树和梨树各有多少棵?
4、一套桌椅的价格是78元,其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅子的价格各是多少元?
5、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,两次共剪去6米,这条绳子共长多少米?
6、一条绳子,第一次剪去全长的25%,第二次剪去全长的35%,第二次比第一次多剪了1米,这条绳子长多少米?
7、根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶20公顷,实际种茶25公顷,________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几?
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几?
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几?
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几?
8、根据算式填条件
果园里有苹果树200棵,                         ,梨树有多少棵?
①200÷20%
②200×20%
③200÷(1+20%)
④200÷(1-20%)
⑤200×(1-20%)
⑥200×(1+20%)