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:用“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子,“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
要点诠释: (1)不等号的类型:
①“≠”读作“不等于”,它说明两个量之间的关系是不等的,但不能明确两个量谁大谁小;②“>”读作“大于”,它表示左边的数比右边的数大;
③“<”读作“小于”,它表示左边的数比右边的数小;
④“≥”读作“大于或等于”,它表示左边的数不小于右边的数;
⑤“≤”读作“小于或等于”,它表示左边的数不大于右边的数;
(2)等式与不等式的关系:等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系,等式表示相等关系,不等式表示不等关系,但不论是等式还是不等式,都是同类量比较所得的关系,不是同类量不能比较。
(3)要正确用不等式表示两个量的不等关系,就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
:能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
要点诠释:由不等式的解的定义可以知道,当对不等式中的未知数取一个数,若该数使不等式成立,则这个数就是不等式的一个解,我们可以和方程的解进行对比理解,要判断一个数是否为不等式的解,可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如:不等式x-4<1的解集是x<:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释:不等式的解集必须符合两个条件:
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立;
(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二:不等式的基本性质
基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变。
符号语言表示为:如果,那么。
基本性质2:不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
符号语言表示为:如果,并且,那么(或)。
基本性质3:不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
符号语言表示为:如果,并且,那么(或)
要点诠释:(1)不等式基本性质1的学****与等式的性质的学****类似,可对比等式的性质掌握;
(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数,还有相同的单项式或多项式;
(3)“不等号的方向不变”,指的是如果原来是“>”,那么变化后仍是“>”;如果原来是“≤”,那么变化后仍是“≤”;“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”,那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”,那么变化后将成为“≥”;
(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质3,在乘(除)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,要记住不等号的方向一定要改变。
知识点三:一元一次不等式的概念
只含有一个未知数,且含未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,,叫做一元一次不等式。
要点诠释:(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解:
①左右两边都是整式(单项式或多项式);②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1。
(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点:二者都是只含有一个未知数,未知数的最高次数都是1,左右两边都是整式;不同点:一元一次不等式表示不等关系(用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接),一元一次方程表示相等关系(用“=”连接)。
知识点四:一元一次不等式的解法
:求不等式解的过程叫做解不等式。:与一元一次方程的解法类似,其根据是不等式的基本性质,解一元一次不等式的一般步骤为:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.
要点诠释:(1)在解一元一次不等式时,每个步骤并不一定都要用到,可根据具体问题灵活运用(2)解不等式应注意:①去分母时,每一项都要乘同一个数,尤其不要漏乘常数项;②移项时不要忘记变号;③去括号时,若括号前面是负号,括号里的每一项都要变号;④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变。
:
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来,能形象地说明不等式有无限多个解,它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
要点诠释:在用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
(1)边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;(2)方向:大向右,小向左
规律方法指导(包括对本部分主要题型、思想、方法的总结)
1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。(性质2、3要倍加小心)
2、检验一个数值是不是已知不等式的解,只要把这个数代入不等式,然后判断不等式是否成立,若成立,就是不等式的解;若不成立,则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形,最终目的是将原不等式变为或的形式,其一般步骤是:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目,适当选用,合理安排顺序。但要注意,去分母或化未知数的系数为1时,在不等式两边同乘以(或除以)同一个非零数时,如果是个正数,不等号方向不变,如果是个负数,不等号方向改变。
解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在不等式两边同乘以分母的最小公倍数
(1)不含分母的项不能漏乘(2)注意分数线有括号作用,去掉分母后,如分子是多项式,要加括号(3)不等式两边同乘以的数是个负数,不等号方向改变。
去括号
根据题意,由内而外或由外而内去括号均可
(1)运用分配律去括号时,不要漏乘括号内的项(2)如果括号前是“—”号,去括号时,括号内的各项要变号
移项
把含未知数的项都移到不等式的一边(通常是左边),不含未知数的项移到不等式的另一边
移项(过桥)变号
合并同类项
把不等式两边的同类项分别合并,把不等式化为或的形式
合并同类项只是将同类项的系数相加,字母及字母的指数不变。
系数化1
在不等式两边同除以未知数的系数,若且,则不等式的解集为;若且,则不等式的解集为;若且,则不等式的解集为;若且,则不等式的解集为;
(1)分子、分母不能颠倒
(2)不等号改不改变由系数的正负性决定。
(3)计算顺序:先算数值后定符号
将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来,是数学中数形结合思想的重要体现,要注意的是“三定”:一是定边界点,二是定方向,三是定空实。
5、用一元一次不等式解答实际问题,关键在于寻找问题中的不等关系,从而列出不等式并求出不等式的解集,最后解决实际问题。
6、常见不等式的基本语言的意义:(1),则x是正数;(2),则x是负数;
(3),则x是非正数;(4),则x是非负数;(5),则x大于y;
,则x小于y;(7),则x不小于y; (8),则x不大于y;
(9)或,则x,y同号;(10)或,则x,y异号;
(11)x,y都是正数,若,则;若,则;
(12)x,y都是负数,若,则;若,则
一元一次不等式(组)
知识点1:不等式的定义
(). D.
知识点2:,则据此可列不等式为()
A. B. C. D.
知识点3:<,则(用不等号填空)。
<,下列四个不等式中不正确的是()
<4 B.-4<-4 C.+4<+4 D.-4<-4
,则下列不等式中不能成立的是()
A. B. C. D.
知识点4:不等式的解与解集
,能使不等式,都成立的是()A.-.-
①是的解;②不是的解;③的解集是;④的解集是,其中正确的个数是()
知识点5:不等式的解集的数轴表示
≥-2的解集,正确的是()
ABCD
知识点6:一元一次不等式的定义
()>.
知识点7:一元一次不等式的整数解
,可取的最大整数值是()
-1≥3-5的正整数解的个数为()
-1<3的非负整数解是
知识点8:解一元一次不等式
()A. B. C. D.
::
,代数式的值不小于的值。
知识点9:一元一次不等式的应用
,已知每个笔记本4元,每个练****本4角,那么他最多能买笔记本多少本?
,标价200元,但销量较小。为了促销,商场决定打折销售,若为了保证利润率不低于20%,那么至多打几折?
,要在10天内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?
知识点10:一元一次不等式与一次函数
,一次函数的图象经过A、B两点,则关于x的不等式的解集是.
(第20题图)(第21题图)
直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式的解集为.
。若进行粗加工,每吨加工费用为600元,需天,每吨售价4000元;若进行精加工,每吨加工费用为900元,需天,每吨售价4500元。现将这50吨原料全部加工完。(1)设其中粗加工x吨,获利y元,求y与x的函数关系式(不要求写自变量的范围);
(2)如果必须在20天内完成,如何安排生产才能获得最大利润?最大利润是多少?
知识点11:一元一次不等式组的解集的数轴表示
,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是()
A. B. C. D.
,正确的为图中的()
.
知识点12::
.
知识点13:()
B.-1 C.-2
=.知识点14:一元一次不等式组的应用
,它的个位数字比十位数字大3,且这个两位数介于50和60之间,则这个两位数是。
,分住若干间宿舍,若每间住4人,则还有19人无宿舍住;若每间住6人,则有一间宿舍不空也不满,求住宿人数和宿舍间数。
,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费);若学校自己刻录,除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元(包括空白光盘费),问刻录这批光盘,到电脑公司刻录费用省,还是自己刻录省?请说明理由。
,某校计划购置一批电脑,已知甲公司的报价为每台5800元,优惠条件是购买10台以上则从第11台开始可按报价的70%计算;乙公司的报价也是每台5800元,但优惠条件是为支持教育每台均按报价的85%,在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下,你如何选择?请说明理由.
知识点15:,那么的取值范围是()A.>8B.≥8C.<8D.≤8
,则的取值范围是:;
,、满足,则的取值范围在数轴上表示为()
A. B. C. D.
,则的值等于()
C.-1
,则关于的不等式的解集是(). .
一元一次不等式中考题
一、填空题:+5≤9的非负整数解为__________.
≤x≤3,试写出一个这样的不等式组为________.
3.(2010甘肃)若不等式组的解集是,则_________..
4.(2010山东荷泽)若关于的不等式mx+13<5的解集是x>2,则实数m的值为_________..
(3x-1)-(5x-2)>成立的最大整数值是___.
-a≤0的正整数解是1、2,则a的取值范围是__.
≥b,则a与b的大小关系为是_.
,化简│3-a│+│a-2│=__.
,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,,,,则最多只能安排_____人种甲种蔬菜.
、白颜色的球各若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的2倍比红球多,若把每一个白球都记作数2,每一个红球都记作数3,则所有球总计数为60,那么白球________个,红球_______个.
“●”、“■”表示两个不同的物体,用天平称它们的质量,三次称量情况如图所示,若这两物体的质量是整数,则“■”的质量为______克.
二、选择题:>b,则下列不等式一定成立的是().-a>--b>0
>b,那么下列结论中错误的是()-3>b->.-a>-b
<b<a,那么下列不等式中无解的是().
()A.-3<x<<><-3或x>3
()
+4的值不大于0,则x的取值范围是().
,若每只篮子分4个苹果,还剩20个未分完;若每只篮子里分放8个苹果,则还有一只篮子没有放够,那么小华原来共有苹果()
,对某校毕业生进行体检,在前50名学生中有49名是合格的,以后每8名中有7名是合格的,且该校毕业生体检合格率在90%以上,则该校毕业生最多有多少名学生?()
:起步价7元(即行使距离不超过3km都需付7元车费),超过3km后,每增加1km,(不足1km按1km计),某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元,设此人从甲到路程是xkm,那么x的最大值是()
三、:,并把解集在数轴上表示出来.
(x-2)+8<6(x-1)+7的最小整数解为方程2x-ax=4的解,求a的值.
-2≤0,求a的值.
25.(2010湖北荆门)试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解。
、乙两种商品,甲商品每件进价10元,售价15元;乙商品每件进价30元,售价40元。
(1)若该起市同时一次购进甲、两种商品共80件,恰好用去1600元,求能购进甲乙两种商品各多少件?
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润(利润=售价-进价)不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案。