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【知识网络】
【思想方法】
转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.
本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.
本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.
第一讲分式的运算
【知识要点】;
(通分与约分)
【主要公式】:
:;
:,
:实际是合并同类项
;am●an=am+n;am÷an=am-n
:(ab)m=ambn,(am)n=amn
:a-p=a0=1
:平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2
(一)、分式定义及有关题型
题型一:考查分式的定义
【例1】下列代数式中:,是分式的有: .
题型二:考查分式有意义的条件
【例2】当有何值时,下列分式有意义
(1) (2) (3) (4) (5)
题型三:考查分式的值为0的条件
【例3】当取何值时,下列分式的值为0.
(1) (2) (3)
题型四:考查分式的值为正、负的条件
【例4】(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数.
练习:
,下列分式有意义:
(1) (2) (3)
,下列分式的值为零:
(1) (2)
(1) (2)
(二)分式的基本性质及有关题型
:
:
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
(1) (2)
题型二:分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1) (2) (3)
题型三:化简求值题
【例3】已知:,求的值.
提示:整体代入,①,②转化出.
【例4】已知:,求的值.
【例5】若,求的值.
练习:
,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(1) (2)
:,求的值.
:,求的值.
,求的值.
,试化简.
(三)分式的运算
:
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一:通分
【例1】将下列各式分别通分.
(1);(2);
(3);(4)
题型二:约分
【例2】约分:
(1);(3);(3).
题型三:分式的混合运算
【例3】计算:
(1); (2);
(3); (4);
(5);
(6);
(7)
题型四:化简求值题
【例4】先化简后求值
(1)已知:,求分子的值;
(2)已知:,求的值;
(3)已知:,试求的值.
题型五:求待定字母的值
【例5】若,试求的值.
练习:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7).
(1),其中满足.
(2)已知,求的值.
:,试求、的值.
,代数式的值是整数,并求出这个整数值.
(四)、整数指数幂与科学记数法
题型一:运用整数指数幂计算
【例1】计算:(1) (2)
(3) (4)
题型二:化简求值题
【例2】已知,求(1)的值;(2)求的值.
题型三:科学记数法的计算
【例3】计算:(1);(2).
练习:
:(1)
(2)
(3)
(4)
,求(1),(2)的值.
第二讲分式方程
【知识要点】;
【主要方法】;
;方程两边同乘以最简公分母.
,恰当地设末知数.
(一)分式方程题型分析
题型一:用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
(1);(2);(3);(4)
提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
(1);(2)
提示:(1)换元法,设;(2)裂项法,.
【例3】解下列方程组
题型三:求待定字母的值
【例4】若关于的分式方程有增根,求的值.
【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.
提示:且,且.
题型四:解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
提示:(1)是已知数;(2).
题型五:列分式方程解应用题
练习:
:
(1); (2);
(3); (4)
(5) (6)
(7)
:
(1);(2).
,求的值.
,关于的方程的解为非负数.
,试求的值.
(二)分式方程的特殊解法
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法
:
二、化归法
:
三、左边通分法
例3:解方程:
四、分子对等法
:
五、观察比较法
:
六、分离常数法
:
七、分组通分法
:
(三)分式方程求待定字母值的方法
,求的值。
,求的值。
,求的值。
,求的值。