文档介绍：该【人教新课标初二下知识点总结 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【44】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【人教新课标初二下知识点总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第十六章二次根式
一、二次根式的定义
一般地,我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式。其中“”叫做二次根号。二次根号下的叫做被开方数
【注】正确理解二次根式的概念,要把握以下几点:
①二次根式是在形式上定义的,必须含有二次根号“”。如是二次根式,虽然=2,但2不是二次根式。
②二次根式的被开方数可以是一个数字,也可以是一个代数式,但必须满足被开方数大于等于0,即≥,所以它不是二次根式。
③“”的根指数为2,即“”,这里的2可以省略不写,写作“”,注意,不可误认为根指数是“1”或“0”。
④形如()的式子也是二次根式,它表示与的乘积,与单项式书写类似,当是假分数时,要写成带分数的形式。
【方法总结】:判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是不是同时具备二次根式的两个特征:(1)带二次根号“”;(2)被开方数大于等于0(非负数)。不满足其中任何一个条件,它就不是二次根式。
※※※二、二次根式有意义的条件
1、从总体上描述:在二次根式中,当≥0时,有意义;当时,无意义。
2、从具体的情况总结,如下:A≥0
(1)单个二次根式如有意义的条件是;B≥0
(2)多个二次根式相加如有意义的条件:…
N≥0
(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件是:;
(4)二次根式与分式的和如有意义的条件是:A≥0
B≠0
【方法总结】判断含完全平方的被开方数是否是非负数的一般方法:
(1)如果被开方数是一个完全平方数与一个非负数的和的形式,显然这个被开方数是非负数,因此它必然是二次根式,如式子;
(2)如果被开方数是一个完全平方数的相反数,那么只有当底数是0时,被开方数等于0,式子才是二次根式,如
,只有当时,这个式子才是二次根式;
(3)如果被开方数是一个完全平方数的相反数与一个负数的和的形式,显然这个被开方数是一个负数,如,这样的式子不是二次根式;
(4)对于被开方数是多项式的情况,需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成完全平方式的形式,并进行分析讨论,如需先化成
※※※三、二次根式的性质
1、性质1:式子()具有双重非负性:它既表示非负数,又表示非负数的算术平方根。具体描述为:(1)是一个非负数;(2)的最小值为0;(3)的被开方数是一个非负数。
注意:几个非负数的和为0时,这几个非负数必须同时为0.
2、性质2:,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
注意:不要忽略这一限制条件,导致类似的错误。
3、性质3:=,
即当一个数为非负数时,它的平方的算术平方根等于它本身,可记为;当一个数为负数时,它的平方的算术平方根等于它本身的相反数,可记为。
※※【重点剖析】:与的区别与联系
表达式
区
别
意义不同
表示实数的算术平方根
表示非负实数的算术平方根的平方
取值范围不同
为任意实数
运算结果不同
=,
运算顺序不同
表示对实数先平方再作开平方运算
表示对非负数先开方再作平方运算
联系
与均为非负数,且当时,=
知识拓展:逆用公式,即可以把一个非负数写成一个数的平方的形式,从而把因式分解推广到实数范围内,例如
四、代数式
1、定义:用基本的运算符号(基本的运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。代数式可以简明的表示出数量和数量之间的关系,也能真实客观地展现出实际问题中的数量关系。
【重点剖析】:代数式是数与字母之间的运算关系,代数式中只能含有加、减、乘、除、乘方、开方运算符号,不能含有
“”“”“”“”“”或“=”等关系符号。
2、根据实际问题列代数式的一般步骤:
(1)要认真审题,对语言叙述中的关键词语(如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等)所代表的意义进行仔细辨析;
(2)要分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分等关系;
(3)根据各数量之间的运算关系及运算顺序写出代数式。
3、列代数式常用的方法:
(1)直接法:根据问题的语言叙述直接写出代数式
(2)公式法:根据公式列出代数式
(3)探究规律法:将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来
一、二次根式的乘法
一般地,对二次根式的乘法法则是:·=(≥0,≥0),
语言叙述为:两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变
【注意】:乘法法则中被开方数、都必须是非负数
【重点剖析】(1)二次根式相乘的结果是一个二次根式或者是一个有理式
(2)如果没有特别说明,本章中所有的字母都表示正数
【知识拓展】二次根式乘法法则的推广
(1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算,如;
(2)当二次根式根号外有因数(式)时,可以类比单项式乘单项式法则计算,即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被开方数的积作为被开方数,即。
二、积的算术平方根
积的算术平方根的性质:=·(≥0,≥0)
语言叙述:两个非负数的积的算术平方根等于两数算术平方根的积。
【注意】:(1)在这个公式中,、可以是数,也可以是代数式,但无论是数,还是代数式,都必须满足≥0,≥0,才能用此公式进行化简或计算。
(2)在进行化简运算时,先将被开方数进行因式分解或因数分解,然后再将能开的尽方的因式或因数开方后开到根号外。
【知识拓展】积的算术平方根的推广
积的算术平方根公式是二次根式的乘法的法则的逆用,公式可以推广到多个非负数的情况,即。
三、二次根式的除法
1、一般地,二次根式的除法法则是:=(≥0,>0)
语言叙述:两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变
【注意】必须是非负数,必须是正数,式子才有意义,如果、都是负数,虽然式子,有意义,但是,在实数范围内无意义,如,而;若=0,则无意义。
【重点剖析】(1)当二次根式根号外有因数(式)时,可以类比单项式除以单项式法则计算,即根号外的因数(式)的商作为根号外的因数(式),被开方数的商作为被开方数,即。
(2)在二次根式的计算中,最后的结果不含能开的尽方的因数或因式,同时分母中不能含二次根式。
2、分母有理化
二次根式的结果要求分母不含根号,如果分母中含有无理式,则必须进行分母有理化。具体如下:
(1)如果分母是形如的二次根式,利用分式的基本性质将分子、分母同时乘以,即;
(2)如果分母是形如的二次根式,利用平方差公式,将分子、分母同时乘以,即;
(3)如果分母是形如的二次根式,利用平方差公式,将分子、分母同时乘以,即.
四、商的算术平方根
商的算术平方根的性质=(≥0,>0),
语言叙述:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
【注意】当被开方数是带分数时,先将带分数化成假分数,如必须先化成,以免出现这样的错误。
【学法指南】利用商的算术平方根化简二次根式的方法
1、如果被开方数的分母是一个完全平方数(式),则可以直接利用商的算术平方根公式,将分子、分母分别开平方,然后求商;
2、如果被开方数的分母不是一个完全平方数(式),可根据分式的基本性质,将分式的分子分母同时乘以一个不等于零的数或整式,使分母变成一个完全平方数(式),然后利用商的算术平方根的性质进行化简。
五、最简二次根式
1、定义:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,同时满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
2、判断一个根式是否是最简二次根式的方法:
利用最简二次根式需要满足的两个条件(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式来判断,二者同时满足即为最简二次根式,否则不是最简二次根式。
3、将一个二次根式化简成最简二次根式的方法:
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式,如果分母可以完全可得尽方,就把它开出来;如果分母开不尽方,就利用分母有理化来化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将它分解因数或分解因式,然后利用积的算术平方根的性质,把开得尽方的因数或因式开出来,从而将式子化简。
六、本节的方法总结
1、计算多个二次根式相乘的方法:先计算根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),再计算被开方数的积作为被开方数,最后将二次根式化为最简二次根式。
2、运用积的算术平方根化简的方法:先将被开方数因式(数)分解,化成幂的乘积的形式,再应用积的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式。
3、计算两个二次根式相除的方法:把根号外的因数(式)对应相除,被开方数对应相除,被开方数对应相除时也可以用除以一个数等于乘以这个数的方法进行约分化简。
4、进行二次根式的除法运算的方法:要先把除法转化成乘法,再根据二次根式的乘法法则进行运算。
5、进行二次根式乘除混合运算的方法:它与整式乘除混合运算的方法相同,整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘、除法中仍然适用,在运算时要注意运算符号和运算顺序,若被开方数是带分数,要先化成假分数。
6、被开方数是数字的二次根式的化简技巧:
(1)当被开方数是整数时,先将它分解因数;
(2)当被开方数是小数或带分数时先将小数化成分数或将带分数化成假分数的形式;
(3)当被开方数是整数或分数的和差时,先将这个和差的结果求出。
7、被开方数是整式或分式的二次根式的化简技巧:
(1)当被开方数是单项式时,应先将被开方数中指数大于或等于2的因式化成或的形式;
(2)当被开方数是多项式时,应先将多项式分解因式;
(3)当被开方数是分式时,应先将这个分式的分母化成平方的形式;
(4)当被开方数是分式的和或差时,应先将它通分。
一、在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式
1、将二次根式化成最简二次根式,如果被开方数相同,则这样的二次根式可以合并。
【注意】判断几个二次根式是否可以合并,一定都要化成最简二次根式再判断。
【重点剖析】(1)把二次根式化成最简二次根式后,只需要被开方数相同就可以合并,与根号前的因数(式)无关;
(2)合并的方法与合并同类项类似,把根号外的因数(式)相加,根指数和被开方数(式)不变,如
2、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不叫做同类二次根式,至少两个二次根式才有可能是同类二次根式。
二、二次根式的加减运算
1、二次根式的加减法法则:一般地,二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2、二次根式加减运算的步骤:
(1)“化”——将每一个二次根式化简;
(2)“找”——找出被开方数相同的二次根式;
(3)“并”——把被开方数相同的二次根式进行合并。
三、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
2、二次根式的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,要先算括号里的。
3、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。
4、结果必须化成最简二次根式。
【注意】在进行二次根式的计算时,能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,有时还需要灵活运用公式和逆用公式,这样可以使计算过程大大简化。
【知识拓展】二次根式运算中常见的模型及运算方法
1、
2、
3、
4、
5、
6、
四、比较两个二次根式大小的方法:
1、用作差法比较两个二次根式的大小:先求出两个二次根式的差,然后把差与0比较,当时,;当时,;当时,.
2、用商差法比较两个二次根式的大小:当两个二次根式均由分母和分子两部分组成时,常通过作商比较他们的大小,先计算两个二次根式的商,然后比较其商与1的大小关系。已知,若则;若则;若则。
3、用平方法比较两个二次根式的大小:先求出两个二次根式的平方,再比较二次根式的平方的大小。一般地,
(1),若则;若则;若则。
(2),若则;若则;若则。
4、转化成比较两个被开方数的大小:即可以将括号外的正因数平方后移到根号内,计算出被开方数后,再比较被开方数的大小,被开方数大的,其算术平方根也大。若两个正的二次根式比较大小,则被开方数数大的二次根式大;若两个负的二次根式比较大小,则被开方数小的二次根式大。
第十七章勾股定理
一、勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别是,斜边长为,那么。即直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
【注意】(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用,如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系。
(2)运用勾股定理时,一定要先弄清楚哪条边是斜边,不要把斜边和直角边混淆。在分不清哪条边是斜边时,要分类讨论,写出所有可能,避免漏解或错解。
【重点剖析】勾股定理能够把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系,它把形与数密切联系起来。
【学法指南】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为,则,,,,,。
【知识拓展】如果锐角三角形的三边分别是,且,那么;如果钝角三角形的三边分别是,且,那么。
二、勾股定理的证明
【证法一】赵爽弦图
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于
.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º,
∴∠EAB+∠HAD=90º,
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.
∴.
∴.
【证法二】1876年美国总统茄菲尔德证明
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,,使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º,
∴∠AED+∠BEC=90º.
∴∠DEC=180º―90º=90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.
∴.
∴.
三、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要作用有:
1、已知直角三角形的两边求其第三边:方法是直接将两条已知线段的长度代入(为斜边)中,即可求得第三边的长。
2、已知直角三角形的一边确定另两边的关系
3、证明含有平方关系的几何问题:方法是首先考虑使用勾股定理,从图中寻找或构造包含所证线段的直角三角形,结合等量代换和代数式中的恒等变换进行论证,一般等腰三角形构造直角三角形的方法是作等腰三角形底边上的高。
4、作长度为(为正整数)的线段,其题型有:
(1)在数轴上作出表示无理数的点的步骤:第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;第二步:以数轴的原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴的原点为圆心,斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点。