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学员姓名:____何锦莹____年级:_____9_____所授科目:___数学__________
上课时间:____年月日____时分至____时___分共___小时
老师签名
唐熠
学生签名
教学主题
圆
上次作业检查
完成很好
本次上课表现
本次作业
授课内容:圆的相关概念,基础知识
板块一:圆的有关概念
一、圆的定义:
:在一个平面内,线段绕它固定的一个端点旋转一周,另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点叫做圆心,叫做半径.
2圆的表示方法:通常用符号表示圆,定义中以为圆心,为半径的圆记作“”,读作“圆”.
3同圆、同心圆、等圆:
圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.
注意:同圆或等圆的半径相等.
二、弦和弧
:连结圆上任意两点的线段叫做弦.
:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的倍.
:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,,读作弧.
:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
三、圆心角和圆周角
:,每一份的弧对应的圆心角,.
:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.
板块二:圆的对称性与垂径定理
一、圆的对称性
:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线.
:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.
二、垂径定理
:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
练****题;
:(1)直径是弦,是圆中最长的弦。()(2)半圆是弧,弧是半圆。()
(3)等圆是半径相等的圆。()(4)等弧是弧长相等的弧。()
(5)半径相等的两个半圆是等弧。()(6)等弧的长度相等。()
⊙O内与O不重合的一点,则下列说法正确的是()
⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B.⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C.⊙O上有两点到点P的距离最小D.⊙O上有两点到点P的距离最大
,可以作()
,已知线段a为半径作圆,可以作()
5、如下图,
(1)若点O为⊙O的圆心,则线段__________是圆O的半径;
线段________是圆O的弦,其中最长的弦是______;______是劣弧;______是半圆.
(2)若∠A=40°,则∠ABO=______,∠C=______,∠ABC=______.
⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为9cm,则这圆的半径是cm.
,到圆心的距离等于半径的点都在.
,点C在以AB为直径的半圆上,∠BAC=20°,∠BOC等于()
° ° ° °
8、如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB于C,OC=3cm,求⊙O的半径长.
,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是().
=.∠BAC=∠>AD
(5)
(1)(2)(3)(4)
,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是()
,在⊙O中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,则下列结论中不正确的是()
⊥CDB.∠AOB=4∠=PD
,AB为⊙O直径,E是中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.
⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.
14(、深圳南山区,3分)如图1-3-l,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60○,AC=3,则△ABC的周长是____________.
,那么()
;
;
16(、大连,3分)如图1-3-7,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°
则∠BOC的大小是()
○○
○○
三、综合题
1、如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
3、已知:如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB,CD的延长线交于E,若AB=2DE,∠E=18°,求∠C及∠AOC的度数.
板块三:点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.
设的半径为,点到圆心的距离为,则有:
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
如下表所示:
位置关系
图形
定义
性质及判定
点在圆外
点在圆的外部
点在的外部.
点在圆上
点在圆周上
点在的圆周上.
点在圆内
点在圆的内部
点在的内部.
二、确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件:①圆心(定点),确定圆的位置;②半径(定长),,远才能确定.
⑴经过点的圆:以点以外的任意一点为圆心,以的长为半径,即可作出过点的圆,这样的圆有无数个.
⑵经过两点的圆:以线段中垂线上任意一点作为圆心,以的长为半径,即可作出过点的圆,这样的圆也有无数个.
⑶过三点的圆:若这三点共线时,过三点的圆不存在;若三点不共线时,圆心是线段与的中垂线的交点,而这个交点是唯一存在的,这样的圆有唯一一个.
⑷过个点的圆:只可以作个或个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.
:不在同一直线上的三点确定一个圆.
注意:⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆;
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”.
板块四:直线和圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设的半径为,圆心到直线的距离为,则直线和圆的位置关系如下表:
位置关系
图形
定义
性质及判定
相离
直线与圆没有公共点.
直线与相离
相切
直线与圆有唯一公共点,直线叫做圆的切线,唯一公共点叫做切点.
直线与相切
相交
直线与圆有两个公共点,直线叫做圆的割线.
直线与相交
从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
圆心到直线的距离与半径的关系
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
二、切线的性质及判定
:
定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
:
⑴切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
⑵切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
三、三角形内切圆
:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.
:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.
如图,中,,是的中点,以为圆心的圆与相切于点。求证:是的切线。
如图,已知是的直径,是和相切于点的切线,过上点的直线,若且,则。
如图⊿ABC中∠A=90°,以AB为直径的⊙O交BC于D,E为AC边中点,求证:DE是
⊙O的切线。
8如图,在中,是的中点,以为直径的交
的三边,,且,
.
E
A
D
G
B
F
C
O
M
(1)求证:.
(2)求的直径的长.
7如图(18),在平面直角坐标系中,的边在轴上,且,
,,A、B两点的
横坐标,是关于的方程的两根.
(1)求、的值;
(2)若平分线所在的直线交轴于点,试求直线对应的一次函数解析式;
(3)过点任作一直线分别交射线、(点除外)于点、.则的是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
y
x
图(18)
N
B
A
C
O
D
M
l
7解:(1)以为直径的圆过点,,而点的坐标为,
由易知,,
即:,解之得:或.,,
y
x
图(3)
N
B
A
C
O
D
M
E
F
(0,2)
l
:,
解之,.
(2)如图(3),过点作,交于点,
易知,且,
在中,易得,
,,
又,有,,
,则,即,易求得直线对应的一次函数解析式为:.
解法二:过作于,于,由,求得
,易求直线解析式为:.
(3)过点作于,,.
由,有由,
有,即.
8(1)连接是圆直径,,即
,..在中,. 2分
(2)是斜边的中点,,,
又由(1)知,.
又,与相似 4分
又,
,,设,,,
直径.(3)斜边上中线,
在中,,
设直线的函数表达式为,
根据题意得,解得
直线的函数解析式为(其他方法参照评分) 9分
E
A
D
G
B
F
C
O
M