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第二十六章二次函数(证明)
1、定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。
2、二次函数的性质:
(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴;
(2)函数的图像与的符号关系:
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。
顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。
3、二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线。
4、二次函数用配方法可化成:的形式,
其中。
5、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;②;③;④;⑤。
6、抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点。
①的符号决定抛物线的开口方向:当时,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于轴(或重合),轴记作直线。(P23-9,10)
7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同。
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线。
(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线。
(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点。
9、抛物线中,的作用
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样。
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。
,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧。
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴。
以上三点中,当结论和条件互换时,,则。
10、几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()
用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:。已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式。
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式。
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:。
12、直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为(0,)。
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)。
(3)抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离。
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点:
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根。
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点;
③方程组无解时与没有交点。
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故:
第二十七章 相似(证明)
图形的相似
概述
如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。(相似的符号:∽)
判定
如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。
相似比
相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时,相似的两个图形全等。
性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形
判定
,且夹角相等
,所构成的三角形与原三角形相似。
性质
(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
。
位似
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
性质
位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意
1、位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;
2、两个位似图形的位似中心只有一个;
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
4、;
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似。
第二十八章直角三角形边的关系(选择,填空,计算,证明)
1、正切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,
即tanA=∠A的对边/∠A的邻边。
①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里****惯省去角的符号“∠”;
②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;
③tanA不表示“tan”乘以“A”;
④tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。
2、正弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,
即sinA=∠A的对边/斜边;
3、余弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,
即cosA=∠A的邻边/斜边;
4、余切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,
即cotA=∠A的邻边/∠A的对边;
5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:
若∠A为锐角,则①sinA=cos(90°−∠A)等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90°。
7、当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。同角的三角函数间的关系:
tαnα·cotα=1,tanα=sinα/cosα,cotα=cosα/sinα,sin2α+cos2α=1
8、在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有:
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;
(2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
(3)边与角之间的关系:sinα等;
(4)面积公式;
(5)直角三角形△ABC内接圆⊙O的半径为(a+b-c)/2;
(6)直角三角形△ABC外接圆⊙O的半径为c/2。
第二十九章 投影与视图(选择)
投影
一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection),照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。
有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(parallelprojection).
由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(centerprojection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
三视图
三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
将人的视线规定为平行投影线,然后正对着物体看过去,将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状,从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状,从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状,
还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状,不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能完整的表达物体的结构。
主视、俯视长对正
主视、左视高平齐
左视、俯视宽相等
在许多情况下,只用一个投影不加任何注解,是不能完整清晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示,三个形体在同一个方向的投影完全相同,但三个形体的空间结构却不相同。可见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形体向几个方向投影,才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。
一个视图只能反映物体的一个方位的形状,不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能完整的表达物体的结构。
画法:根据各形体的投影规律,逐个画出形体的三视图。画形体的顺序:一般先实(实形体)后空(挖去的形体);先大(大形体)后小(小形体);先画轮廓,后画细节。画每个  
形体时,要三个视图联系起来画,并从反映形体特征的视图画起,再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线,回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。