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公式,用法合集
极限与连续
:
:
(1)数列:*;*
(2)初等函数:
(3)分段函数:*;*;*
(4)复合(含)函数:
(5)隐式(方程):
(6)参式(数一,二):
(7)变限积分函数:
(8)级数和函数(数一,三):
(几何):
(1)单调性与有界性(判别);(单调定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
:
:
:*;*(含);*(含)
(注:无穷量):
:
:*有界性,*保号性,*归并性
:
,,,
,,,,
,
:
:当时,
;;;
;;;
;
:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
:
前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)
,
()(注:)
(其它如:)
(包括):
(1);(2);;(3)分段函数:,,
(因式中的无穷小)(注:非零因子)
(1)先”处理”,后法则(最后方法);(注意对比:与)
(2)幂指型处理:(如:)
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
(皮亚诺余项):处理和式中的无穷小
:(分段函数)
:
(1)
(2)双边夹:*,*
(3)单边挤:***
(洛必达?):
:,
:
(数一三):
(1)收敛,(如)(2),
(3)与同敛散
:
(等价,阶):*
(1)
(2)
(含斜):
(1)
(2),()
:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)
:(注:,“平均”值:)
:(附:达布定理)
(1)零点存在定理:(根的个数);
(2).
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
:
:;
(1)(注:连续))
(2)左右导:;
(3)可导与连续;(在处,连续不可导;可导)
:
(1)可微可导;(2)比较与的大小比较(图示);
:
;(注:)
:(1)四则运算;(2)复合法则;(3)反函数
(方法步骤):
:(1)与;(2)分段函数左右导;(3)
(注:,求:及的连续性)
(公式加法则):
(1),求:(图形题);
(2),求:(注:)
(3),求及(待定系数)
()导:
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法.
(数一,二):,求:
:
;;
;
注:与泰勒展式:
:
(法线);(区别:上点和过点的切线)
:(相对)变化率速度;
(数一二):(曲率半径,曲率中心,曲率圆)
(数三):(附:需求,收益,成本,利润)
(必求导)
(驻点):
(1);;
(2)分段函数的单调性
(3)零点唯一;驻点唯一(必为极值,最值).
:
(1)表格(变号);(由的特点)
(2)二阶导()
注(1)与的匹配(图形中包含的信息);
(2)实例:由确定点“”的特点.
(3)闭域上最值(应用例:与定积分几何应用相结合,求最优)
()
(1)区别:*单变量与双变量?*与?
(2)类型:*;*
*;*
(3)注意:单调性端点值极值凹凸性.(如:)
:单调介值
(必求导!):
;()
:(1)泰勒估计;(2)单调;(3)凹凸.
:(注:最值点必为驻点)
:
:
(1)
(2)
(3)
(4);
:证明的常规方法:令有个零点(待定)
:含时,分家!(柯西定理)
(达布定理):在可导,,,使:
:;()
:
(连接之间的桥梁)
:;
:在已知或值时进行积分估计
(附:广义):[注:有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲:一元积分学
:
:
(1);(2);(3)
注(1)(连续不一定可导);
(2)(连续)
:
(1);
(2);
:拆(线性性)
(基础):要求巧,简,活()
如:
:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换):
(2)作用与引伸(化简):
(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如);
(2)“反对幂三指”:
(3)特别:(*已知的原函数为;*已知)
:(1);(2)快速法;(3)
:
:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充分条件:连续)
(2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*;*
(3)附:,)
(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联系与侧重
2:变限积分的处理(重点)
(1)可积连续,连续可导
(2);;
(3)由函数参与的求导,极限,极值,积分(方程)问题
:(在上必须连续!)
注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性
(2)有理式,三角式,根式
(3)含的方程.
:
(1),
(2)(如:)
(3),
(4);,
(5),
(1)准备时“凑常数”
(2)已知或时,求
:三角函数系的正交性:
:
:(1)(连续)
(2):(在处为无穷间断)
;
:积分法公式极限(可换元与分部)
:(1);(2)
:(柱体侧面积除外)
,
(1)(2);
(3);(4)侧面积:
:
(1);(2)
(3)与
:
(1)
(2)
(3):
(数一,二)功,引力,水压力,质心,
(中值定理):
(1);
(2),(以为周期:)
第四讲:微分方程
:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)
:
(1)令(如欧拉方程)
(2)令(如伯努利方程)
(应用题)的能力
:
:(1);(2);(3)
:
(1)解法:
(2)“偏”微分方程:;
(重点):
(1)解法(积分因子法):
(2)变化:;
(3)推广:伯努利(数一)
:
(1)解法: