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和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
一、和差倍问题(一)和差问题:已知两个数的和及两个数的差,求这两个数。
方法①:(和-差)÷2= 较小数,和-较小数=较大数
方法②:(和+差)÷2=较大数,和-较大数=较小数
例如:两个数的和是15,差是5,求这两个数。
方法:(15-5)÷2=5,(15+5)÷2=10.
(二)和倍问题:已知两个数的和及这两个数的倍数关系,求这两个数。
方法:和÷(倍数+1)=1倍数(较小数)
1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数)
或 和-1倍数(较小数)=几倍数(较大数)
例如:两个数的和为50,大数是小数的4倍,求这两个数。
方法:50÷(4+1)=10  10×4=40
(三)差倍问题:已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数。
方法:差÷(倍数-1)=1倍数(较小数)
1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数)
或 和-倍数(较小数)=几倍数(较大数)
例如:两个数的差为80,大数是小数的5倍,求这两个数。
方法:80÷(5-1)=20  20×5=100
和与差和与倍数差与倍数
:
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量;
解答年龄问题的一般方法是:
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄,
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.
:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树
三、植树问题(一)不封闭型(直线)植树问题
1、直线两端植树:棵数=段数+1=全长÷株距+1;
全长=株距×(棵数-1);
株距=全长÷(棵数-1);
2、直线一端植树:全长=株距×棵数;
棵数=全长÷株距;
株距=全长÷棵数;
3、直线两端都不植树:棵数=段数-1=全长÷株距-1;
株距=全长÷(棵数+1);
(二)封闭型(圆、三角形、多边形等)植树问题
棵数=总距离÷棵距;
总距离=棵数×棵距;
棵距=总距离÷棵数.
基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:找出总量的差与单位量的差。
【鸡兔问题公式】
(1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:
(总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。
例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”
解一(100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;
36-14=22(只)……………………………鸡。
解二(4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;
36-22=14(只)…………………………兔。
(答略)
(2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式
(每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数
或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。(例略)
(3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。
(每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数。
或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数。(例略)
(4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:
(1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。
例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”
解一(4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
解二1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。)
(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;
〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=兔数。
例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?”
解〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2
=20÷2=10(只)……………………………鸡
〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2
=12÷2=6(只)…………………………兔(答略)
鸡兔同笼,这是一个古老的数学问题,--假设法,并会将这种方法应用到一些实际问题中.
解鸡兔同笼问题的基本关系式是:
鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
当然,也可以先假设全是鸡,那么就有:
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
鸡数=鸡兔总数-兔数
基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
按不同的方法分配物品时,,如果物品不够就叫亏,这就是盈亏问题的含义.
一般地,一批物品分给一定数量的人,第一种分配方法有多余的物品(盈),第二种分配方法则不足(亏),当两种分配方法相差n个物品时,那就有:
盈数+亏数=人数×n,
这是关于盈亏问题很重要的一个关系式.
解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括:
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数,
(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数,
(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数.
解盈亏问题的关键是要找到:什么情况下会盈,盈多少?什么情况下"亏","亏"多少?找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因.
另外在解题后,应进行验算.
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:确定对象总量和总的组数。
基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:确定循环周期。
闰年:一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;