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一、排列组合
(一)、特殊元素的“优先排列法”:对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考其他的元素。
1.(2009广东卷理)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有
【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法;若小张、小赵都入选,则有选法,共有选法36种,选A.
2.(2009北京卷文)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()
【解析】、基本运算的考查.
2和4排在末位时,共有种排法,
其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法,
于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有(个).故选C.
3.(2009北京卷理)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()
【解析】、基本运算的考查.
首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有(个),
当0不排在末位时,有(个),
于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.
(二)、相邻问题用捆绑法:对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
4.(2009四川卷文)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
【答案】B
【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法。
解法二;同解法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况:
第一类:女生A、B在两端,男生甲、乙在中间,共有=24种排法;
第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生甲只有一种排法,此时共有=12种排法
第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有=12种排法
三类之和为24+12+12=48种。
(三).排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除。
5.(2009湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为
【答案】C
【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是,顺序有种,而甲乙被分在同一个班的有种,所以种数是
6.(2009辽宁卷理)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有
(A)70种(B)80种(C)100种(D)140种
【解析】直接法:一男两女,有C51C42=5×6=30种,两男一女,有C52C41=10×4=40种,共计70种
间接法:任意选取C93=84种,其中都是男医生有C53=10种,都是女医生有C41=4种,于是符合条件的有84-10-4=70种.
【答案】A
(四).分组问题:均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理
7.(2009重庆卷理)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).【解析】分两步完成:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有
;第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有所以满足条件得分配的方案有
(五).合理分类与准确分步:含有约束条件的排列组合问题,按元素的性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
8.(2009天津卷理)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答)
解析:个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有:种;个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有:种,所以共有个。
9.(2009全国卷Ⅰ理)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()
(A)150种(B)180种(C)300种(D)345种
解:分两类(1)甲组中选出一名女生有种选法;
(2)
二、二项式
1.(2009浙江卷理)在二项式的展开式中,含的项的系数是()
.
.
答案:B
【解析】对于,对于,则的项的系数是
2.(2008全国Ⅱ卷理)的展开式中的系数是()
A. B.
3.(2007江苏)若对于任意实数,有,则的值为()
.
4.(2006辽宁文)的值为( )
5.(2005浙江理)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是()
(A)74(B)121(C)-74(D)-121
6.(2008福建理)若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=_______.(用数字作答)
7.(2008广东理)已知(k是正整数)的展开式中,的系数小于120,则k=_____.
8.(2005天津理)设,则
9.(2004天津理)若,则
。(用数字作答)
..92004
三、统计案例
(一)分布列
,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设为取得红球的次数,则的期望E=.
,其中=12+7,且E=34,若的分布列如下表,则m的值为 ()
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
:P(=m)=,P(=n)=a,若E=2,则D的最小值等于()
(X=i)=C·确定,i=1、2、3,则C的值为()
A. B. C. D.
,且E=,
4
a
9
P
b
则a的值为()
(二)二项分布
~B(5,),则P(X≤2)等于()
2、若,且的值为(  )
  A.            B.            C.         D.
,测量结果服从正态分布N(1,)(>0).若在(0,1),则在(2,+∞).
(三)正态分布
(2,9),若P(>c+1)=P(<c-1),则c等于()
3、某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为,则下列命题中不正确的是()
3、设随机变量服从正态分布,若,则c=()
A. B. C. D.
分析:根据正态密度曲线的对称性解决.
解析:B根据正态密度曲线的对称性,即直线与直线关于直线对称,故,即.
点评:本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识.
(三)几何概型
14、在边长为2的正三角形ABC中,以A为圆心,为半径画一弧,分别交AB,AC于D,△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形ADE内的概率是____________.
5、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()
A. . D.
13、设,则关于在上有两个不同的零点的概率为______________
4、将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为,则方程有实根的概率为()
.
(四)线性回归
:
则与的线性回归方程为必过点 (C)
A. B. C. D.
,则时,的估计值为.
,测得的四组值分别为,,,,则与的线性回归方程可能是 (A)
A. B. C. D.