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,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.
.
=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1).
★备考知考情
通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的分量,主要以选择题的形式命题,、、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.
一、知识梳理《名师一号》P27
注意:
知识点一对数及对数的运算性质
一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数
b”记作logaN,即b=logaN(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.
注意:(补充)关注定义---指对互化的依据
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R);
④logamMn=logaM.
(2)对数的性质
①alogaN=N;②logaaN=N(a>0,且a≠1).
(3)对数的重要公式
①换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1);
②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.
注意:(补充)特殊结论:
知识点二对数函数的图象与性质
(注意定义域!)
a>1
0<a<1
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,
它们的图象关于直线y=x对称.
(补充)
设y=f(x)存在反函数,并记作y=f-1(x),
1)函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象
关于直线对称.
2)如果点P(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
则必有f-1(y0)=x0,
反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域.
3)函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的单调性相同.
二、例题分析:
(一)对数式的运算
例1.(1)《名师一号》P27对点自测1
(2013·陕西文3)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )
·logcb=logca
·logca=logcb
(bc)=logab·logac
(b+c)=logab+logac
解析 由对数的运算性质:loga(bc)=logab+logac,
可判断选项C,D错误;选项A,由对数的换底公式知,logab·logcb=logca⇒·=⇒lg2b=lg2a,此式不恒成立,故错误;对选项B,由对数的换底公式知,logab·logca=·==logcb,故恒成立.
答案 B
例1.(2)(补充)计算下列各式的值
(1)
(2)温故知新P22第8题
(3)
答案:(1)1(2)10(3)-12
注意:准确熟练记忆对数运算性质多练
《名师一号》P28高频考点例1
【规律方法】 在对数运算中,要熟练掌握对数式的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.
例2.(1)《名师一号》P27对点自测2
(2014·陕西卷)已知4a=2,lgx=a,则x=________.
解析 ∵4a=2,∴a=log42=.由lgx=,
得x=10=.
例2.(2)《名师一号》P28高频考点例1(1)
若x=log43,则(2x-2-x)2等于( )
A. B. C. D.
解析:由x=log43,得4x=3,
即2x=,2-x=,
所以(2x-2-x)2=2=.
注意:指数与对数的互化
ab=N⇔b=(a>0,a≠1,N>0).
练****补充)已知求
答案:
例3.《名师一号》P28高频考点例1(2)
已知函数f(x)=则f(f(1))+f的值
是( )
C.-1 D.
因为f(1)=log21=0,所以f(f(1))=f(0)=2.
因为log3<0,所以f=3+1
=3+1=2+1=3.
所以f(f(1))+f=2+3=5.
二、对数函数的图象及性质的应用
例1.(补充)
求下列函数的定义域.
(1)y=.
(2)y=log(x+1)(16-4x).
解析:(1)由函数定义知:
∴即<x≤1.
故原函数的定义域是{x|<x≤1}.
(2)由函数有意义知
∴即-1<x<2,且x≠0.
故原函数的定义域为{x|-1<x<0,或0<x<2}.
练****br/>已知集合
求实数a的取值范围.
解析:设f(x)=x2-ax-a,则y=log2f(x),
依题意,f(x)>0恒成立,∴Δ=a2+4a<0
∴-4<a<0,即a的范围为(-4,0)
例2.《名师一号》P27对点自测5
(2014·重庆卷)函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为________.
解析 根据对数运算性质,f(x)=log2·log(2x)=log2x·[2log2(2x)]=log2x(1+log2x)=(log2x)2+log2x=2-,当x=时,函数取得最小值-.
注意:
换元后“新元”的取值范围.
练****br/>1、求下列函数的值域
(1)y=log(-x2+2x+4)
[答案] [-1,+∞)
(2)f(x)=logx-3log2x2+2
[解析] 令t=log2x,∵≤x≤2∴-1≤t≤1.
∴函数化为y=t2-6t+2=(t-3)2-7
∵-1≤t≤1.
∴当t=-1,即x=时,ymax=9.
当t=1,即x=2时,ymin=-3,
∴函数的值域为[-3,9].
2、已知集合
求实数a的取值范围.
[分析]当且仅当f(x)=x2-ax-a的值能够取遍一切正实数时,y=log2(x2-ax-a)的值域才为R.
而当Δ<0时,f(x)>0恒成立,仅仅说明函数定义域为R,而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏).要使f(x)能取遍一切正实数,作为二次函数,f(x)图像应与x轴有交点(但此时定义域不再为R)
[正解] 要使函数y=log2(x2-ax-a)的值域为R,应使f(x)=x2-ax-a能取遍一切正数,要使f(x)=x2-ax-a能取遍一切正实数,应有Δ=a2+4a≥0,∴a≥0或a≤-4,∴