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(一)本单元在高考中的地位和作用
导数是研究函数的有力工具,是对学生进行理性思维训练的良好素材。导数在处理单调性、最值等问题时,能降低思维难度,,因此导数的应用是导数的重点内容,
从近几年的高考命题分析,对导数主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用以及综合推理能力,:
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景(如瞬时速度、加速度、切线的斜率等),求导公式((为有理数),的导数)和求导法则
第二层次是导数的应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等;
第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、函数的零点、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。
在高考中导数的应用主要有以下四方面:
导数的几何意义;
可导函数的单调性与其导数的关系;
可导函数的极值与其导数的关系;
④可导函数的最值与其导数的关系.
另外导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用,除对中学数学有重要的指导作用外,也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。如函数单调性、最值等函数问题;在掌握导数的相关概念的基础上;应用导数作出特殊函数的图象;应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题,再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨,并最终运用导数解决实际问题的最值。因此导数的应用为高考考查函数提供了广阔天地,处于一种特殊的地位,是高中数学知识的一个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
(二)本单元的考纲要求、复****措施:
考纲要求:
(1)了解导数的概念,,
.
(2)熟记基本导数公式。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函
数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用.
(3)了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
(4)了解复合函数的概念(理科)。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握
复合函数求导法则,并会用法则解决一些简单问题。
导数是新教材增加的内容,、函数的单调性、极值,,,因此,(小)值,求函数在连续区间[a,b]上的最大值或最小值,,,有可能出现在解析几何综合试题中,复****时要注意到这一点.
复****措施:
(1)紧扣教材,准确把握概念、法则,夯实学生解题的规范性。
(2)抓主线,攻重点,针对重点内容,结合前几年高考题,重点知识点重点突破。
(3)重视转化、数形结合和分类讨论思想方法的运用
(4)注意本部分知识与其它章节的联系,对与知识的交汇问题,重点放在逻辑思维、推理能力的培养上,尽量减少繁杂运算。要充分利用建模思想。
(三)本单元的典型试题类型及解题方法、策略
,0≤x0≤1,则x0的值为______.
,已知和为的极值点.
(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)讨论的单调性;
(Ⅲ)设,试比较与的大小.
,其中.
(1)当满足什么条件时,取得极值?
(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
,且
(I)求的取值范围,并讨论的单调性;
(II)证明:.
,,
(1)证明:当时,恒有
(2)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
拓展材料三:导数及其应用参考答案
:
:(Ⅰ)因为,又和为的极值点,所以,因此解方程组得
,.
(Ⅱ)因为,,所以,令,解得,,.因为当时,;当时,.所以在和上是单调递增的;在和上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,故,令,,得,因为时,,,;因为时,,
,.所以对任意,恒有,又,因此,故对任意,恒有.
:(1)由已知得,令,得,要取得极值,方程
必须有解,所以△,即,此时方程的根为
,,
∴.
当时,
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
当时,
x
(-∞,x2)
x2
(x2,x1)
x1
(x1,+∞)
f’(x)
-
0
+
0
-
f(x)
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.
综上,当满足时,取得极值.
(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.
即恒成立,所以
设,,令得或(舍去).
当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以
综上,当时,;当时,.
:(I).令,其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根,其充要条件为
,
得
⑴当时,在内为增函数;
⑵当时,在内为减函数;
⑶当时,在内为增函数;
(II)由(I),
,设,
则
⑴当时,在单调递增;
⑵当时,,在单调递减。
,故.
:(1)设,则=,
当时,,所以函数在(0,单调递增,
又在处连续,所以,即,
所以。
(2)设,
则在(0,恒大于0,,
,
的根为0和
即在区间(0,上,的根为0和
若,则在单调递减,
且,与在(0,恒大于0矛盾;
若,在(0,单调递增,
且,满足题设条件,所以,所以。