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长方体和正方体
长方体和正方体的特征:
长方体和正方体的表面积:
概念:长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积
计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或S表=(a´b+a´c+b´c)´
正方体表面积=棱长×棱长×6或2S=a´a´6=6a
注:不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1m³==1000dm³1dm³=1000cm³1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1L=1000mL1dm³=1L1cm³=1mL
长方体和正方体的体积(容积):
概念:物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或V=a´b´h
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或3V=a´a´a=a
长方体和正方体的体积=底面积×高或V=S底×h
分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
分数与整数相乘:用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:【任何整数都可以看作为分母是1的分数】
求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。
解题时可以根据表示几分之几的条件,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
分数与分数相乘:用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
分数连乘:通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
一个数与比1小的数相乘,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
倒数的认识:
乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数(不为0)的倒数,只要将这个数的分子与分母交换位置。【整数是分母为1的分数】
,0没有倒数。
假分数的倒数都小于或等于1(或者说不大于1);真分数的倒数都大于1。(三)分数除法
分数除法:
:甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
分数连除或乘除混合计算:可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
除数大于1,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
分数除法的意义:已知一个数的几分之几是多少,求这个数?可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识:
比的意义:比表示两个数相除的关系。
比与分数、除法的关系:a:b=a÷b=a/b(b≠0)
比值:比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
最简整数比:比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
化简:运用比的基本性质对比进行化简,方法:先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】
按比例分配问题:将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。
解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的13,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?小盒呢?
分析:假设6个全是小盒Þ球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个Þ小盒:(80-8)÷6=12大盒:12+8=20Þ检验
先假设Þ再比较(与条件不符)Þ进行调整Þ得出结果Þ检验
分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:a+b=b+a
加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法的交换律:a´b=b´a
乘法的结合律:(a´b)´c=a´(b´c)
乘法的分配律:(a+b)´c=a´c+b´c
稍复杂的分数乘法实际问题:
甲占(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷乙;甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;
甲占(是)总量的几分之几,求乙?乙=总量-甲×几分之几
甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几几分之几=(甲-乙)÷乙;甲=乙×(1+几分之几);乙=甲÷(1+几分之几)
乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几几分之几=(甲-乙)÷甲;甲=乙÷(1-几分之几);乙=甲×(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
百分数的读写:百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:百分数后面不带单位名称。(常出现在判断题中)
百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:(一个数÷另一个数)×100%
生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率=油的重量÷油料重量×100%
命中率=命中次数÷总次数×100%
及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:
利息=本金×利率×存期
折扣问题:
折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
、解题方法完全相同。
,找出数量间的相等关系。根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
【典型例题】
例1、(列方程解答和倍问题)一根绳子长48米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的60%。甲、乙两绳各长多少米?
分析与解:乙绳长度是甲绳的60%,把甲绳长度看作单位“1”。
等量关系式:甲绳长度+乙绳长度=总长度
解答:设甲绳长x米,则乙绳长60%x米。
x+60%x=48
=48
x=30
60%x=30×60%=18
答:甲绳长30米,则乙绳长18米。
检验:30+18=48(米),符合甲、乙两绳共长48米。
18÷30=60%,符合乙绳长度是甲绳的60%。
例2、(列方程解答差倍问题)体育馆内排球的个数是篮球的75%,篮球比排球多6个。篮球和排球各有多少个?
分析与解:排球的个数是篮球的75%,是把篮球个数看作单位“1”。
等量关系式:篮球–排球=6个
解答:设篮球有x个,则排球有75%x个。
x-75%x=6
=6
x=24
75%x=24×=18
答:篮球有24个,排球有18个。
你会自己检验吗?检验:24-18=6(个),符合篮球比排球多6个。
18÷24=75%,符合排球的个数是篮球的75%。
点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位“1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量,最后根据它们的和或差列出方程。
例3、六年级男生比女生少40人,六年级女生人数相当于男生人数的140%,六年级男生有多少人?
错误解法:设:女生有x人,男生就有140%x人。
140%x-x=40
=40
x=100
140%x=100×=140
分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的140%”,可以把男生人数看作单位“1”的量,设男生人数为x人,女生人数就是140%x人,再根据“六年级男生比女生少40人”,可以得出数量关系式:“女生人数–男生人数=40”,根据此数量关系式列出方程。
正确解答:设男生有x人,女生就有140%x人。
140%x-x=40
=40
x=100
答:男生有100人。
点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率(百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个量就是单位“1”的量。
例4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题)白兔有36只,比灰兔少20%。灰兔有多少只?
分析与解:白兔比灰兔少20%,把灰兔看作单位“1”。
等量关系式:灰兔的只数–白兔比灰兔少的只数=白兔的只数
解答:设灰兔有x只。
x-20%x=36
=36
x=45
答:灰兔有45只。
检验:45–45×20%=36或(45–36)÷45=20%,符合题意。
点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看问题求什么,确定用什么方法计算。
例6、(难点突破)某商品如果按现价18元出售,则亏了25%,原来成本是多少元?如果想盈利25%,应按多少元出售该商品?
分析与解:不管是亏25%,还是盈利25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的成本。18元亏25%,说明18元比成本少25%,即是成本的(1-25%)。盈利25%,说明盈利的是原来成本的25%,实际售价是原来成本的(1+25%)。
解答:设原来成本是x元。
x-25%x=18
=18
x=2424×(1+25%)=30(元)
答:原来成本是24元,应按30元出售该商品。
点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的。解答这道题目的关键是确定好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。
例7、(考点***)水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的22%,,两次共运进这批水果的62%,这批水果一共有多少吨?
分析与解:根据题意可以画出下面的线段图:
从图中可以看出:两次一共运的吨数-第一次运的吨数=,单位“1”的量是这批水果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了62%x吨,第一次运进了22%x吨。
解:设这批水果一共有x吨。
62%x-22%x=
40%x=
x=
答:。
点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁,找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1”的量之后,再去表示其他的量。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
基本训练:
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数60%。
②男生人数比女生人数多20%。
③女生人数比男生人数少25%。