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知识点一:三角形
1、三角形的定义:是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.
2、组成三角形的元素:三条边和三个角
3、三角形的分类
⑴三角形按边的关系分类如下:
⑵三角形按角的关系分类如下:
把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形,它是两条直角边相等的直角三角形.
4、三角形的性质
⑴三角形三边关系定理:三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.
⑵三角形的内角和定理:三角形的三个内角和等于.
⑶三角形的外角和定理:三角形的三个外角和等于.
⑷三角形的内外角定理:①互补关系:三角形的一个外角与它相邻的内角互补;
②相等关系:三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.
③不等关系:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑸三角形的边角关系:在同一个三角形中:大边对大角,等边对等角,小边对小角;反之,大角对大边,等角对等边,小角对小边也成立.
5、三角形的面积:三角形的面积底高
知识点二:等腰三角形
1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2、等腰三角形的性质定理及推论:
性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:、底边上的中线、底边上的高三线合一.
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.
3、三角形中的中位线
⑴三角形中的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
⑵三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半;
⑶三角形中位线定理的作用:位置关系:可以证明两条直线平行;数量关系:可以证明线段的倍分关系;
⑷常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半;
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;
知识点三:直角三角形
1、直角三角形的两个锐角互余;
2、在直角三角形中,角所对的直角边等于斜边的一半;
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
4、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即
5、常用关系式:由三角形面积公式可得:
★★★6、直角三角形的射影定理
从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影;一条线段在直线上的正射影,
直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;
推论:
知识点四:全等三角形
1、全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形;
2、三角形全等的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;
3、全等三角形的判定定理:
⑴边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“”)
⑵角角边定理:任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“”;
⑶角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“”)
⑷边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“”);
★★★直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“”)
4、全等变换:只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换;
全等变换包括一下三种:
①平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换;
②对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换;
③旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换;
知识点五:相似三角形
1、比例线段的概念:对于四条线段,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即(或)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
注意:⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位.
⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式.
⑶比例线段是有顺序的,如果说是的第四比例项,那么应得比例式为:.
2、比例的性质
基本性质:(1);(2).
反比性质(把比的前项、后项交换):.
合比性质:.:等等.
等比性质:如果,那么.
注意:实际上,由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如,除了可化为,还可化为,,,,,,.
3、比例线段的有关定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.(三角形中位线定理的逆定理)
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.(梯形中位线定理的逆定理)
平行线等分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边.
4、相似三角形
⑴相似三角形的定义:对应角相等,(或相似系数)
注意:
(1)相似三角形是相似多边形中的一种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;
(3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同;
(4)相似用“∽”表示,读作“相似于”;
(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.
⑵相似三角形的判定方法
预备定理:平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
定理的基本图形语言:
数学符号语言:∴∽.
判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,:两角对应相等,两三角形相似.
判定定理2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
判定定理3:如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,:三边对应成比例,两个三角形相似.
判定定理4:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.
⑶相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
(2)相似三角形的周长比等于相似比;
(3)相似三角形的面积比等于相似比的平方;
(4)相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
⑷相似三角形的等价关系
(1)反身性:对于任一有∽.
(2)对称性:若∽,则∽.
(3)传递性:若∽,且∽,则∽.
★★★相似直角三角形
引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的第三边.(与三角形的中位线定理类似)
定理:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似.
定理:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
定理:如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.
经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型
①平行线型:常见的有如下两种,∥,则△∽△
②相交线型:常见的有如下四种情形,如图,已知,则由公共角得,△∽△
如下左图,已知,则由公共角得,△∽△;如下右图,已知,则由对顶角得,△∽△
③旋转型:已知,,则△∽△,下图为常见的基本图形.
④母子型:已知,则△∽△∽△.
解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形.
知识点六:锐角三角函数的概念(建立在直角三角形的基础之上)
1、如图,在△ABC中,∠C=90°
①;②
③;④
2、一些特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
90°
1
1
1
不存在
不存在
1
3、各锐角三角函数之间的关系
(1)互余关系:sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A),tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A)
(2)平方关系:
(3)倒数关系:tanAtan(90°—A)=1
(4)弦切关系:tanA=