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(一)平面直角坐标系
1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系
2、各个象限内点的特征:
第一象限:(+,+)点P(x,y),则x>0,y>0;
第二象限:(-,+)点P(x,y),则x<0,y>0;
第三象限:(-,-)点P(x,y),则x<0,y<0;
第四象限:(+,-)点P(x,y),则x>0,y<0;
3、坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点,纵坐标为零;y轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0,0)。两坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征:已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同,纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同,横坐标反号
关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横,纵坐标都反号
5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的任意两点:横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P(x,y)的几何意义:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|,
点P(x,y)到y轴的距离为|x|。
点P(x,y)到坐标原点的距离为
8、两点之间的距离:
X轴上两点为A、B|AB|
Y轴上两点为C、D|CD|
已知A、BAB|=
9、中点坐标公式:已知A、BM为AB的中点
则:M=(,)
10、点的平移特征:在平面直角坐标系中,
将点(x,y)向右平移a个单位长度,可以得到对应点(x-a,y);
将点(x,y)向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y);
将点(x,y)向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b);
将点(x,y)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y-b)。
注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
(二)函数的基本知识:
基本概念
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值与之对应
3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
5、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
(三)正比例函数和一次函数
1、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
必过点:(0,0)、(1,k)
走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
2、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
(3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
注:y=kx+b中的k,b的作用:
1、k决定着直线的变化趋势
①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的
2、b决定着直线与y轴的交点位置
①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
3、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
注:对于y=kx+b而言,图象共有以下四种情况:
1、k>0,b>02、k>0,b<03、k<0,b<04、k<0,b>0
4、直线y=kx+b(k≠0)与坐标轴的交点.
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0,0);
(2)直线y=kx+b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为(0,b).
5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
6、两条直线交点坐标的求法:
方法:联立方程组求x、y
例题:已知两直线y=x+6与y=2x-4交于点P,求P点的坐标?
7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两条直线平行:k1=k2且b1b2
(2)两直线相交:k1k2
(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2
平行于轴(或重合),轴记作直线
8、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
9、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
10、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
11、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
12、函数应用问题(理论应用实际应用)
(1)利用图象解题通过函数图象获取信息,并利用所获取的信息解决简单的实际问题.
(2)经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化,从而解决最佳方案,,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再寻求出两个变量之间的关系,构建函数模型,从而利用数学知题.
(四)反比例函数
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
取值范围: ①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
反比例函数的性质:
>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
>0时,函数在x<0和x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0和x>0上同为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则S1=S2=|K|
,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么AB两点关于原点对称。
=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n2+4k·m≥(不小于)0。(k/x=mx+n,即mx^2+nx-k=0)
=k/x的渐近线:x轴与y轴。
=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)
、y轴分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|
,k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
(五)二次函数
二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般式(已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.)
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2/4a);
顶点式(已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.)
y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)或(h,k)对称轴为x=-m或x=h,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式(已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式)
y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线];
抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点
顶点
抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,4ac-b^2/4a),当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
开口
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。(左同右异)
c的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为(0,).
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故