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知识要求:
1、在具体情境中,理解有理数及其运算的意义;
2、能用数轴上的点表示有理数,会比较有理数的大小。
3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义,会求有理数的相反数与绝对值。
4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程;掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算;理解有理数的运算律,并能利用运算律简化运算,及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题。
知识重点:
绝对值的概念和有理数的运算(包括法则、运算律、运算顺序、混合运算)是本章的重点。
知识难点:
绝对值的概念及有关计算,有理数的大小比较,及有理数的运算是本章的难点。
考点:
绝对值的有关概念和计算,有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。
知识点:
一、有理数的基础知识
1、三个重要的定义
(1)正数:像1、、这样大于0的数叫做正数;(2)负数:在正数前面加上“-”号,表示比0小的数叫做负数;(3)0即不是正数也不是负数,0是一个具有特殊意义的数字,0是正数和负数的分界,不是表示不存在或无实际意义。
概念剖析:①判断一个数是否是正数或负数,不能用数的前面加不加“+”“-”去判断,要严格按照“大于0的数叫做正数;0小的数叫做负数”去识别。
②正数和负数的应用:正数和负数通常表示具有相反意义的量。
③所有正整数组成正整数集合;所有负整数组成负整数集合;正整数、0、负整数统称为整数,正整数、0、负整数组成整数集合;
④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说,其算法为高温减低温等等;
例1下列说法正确的是()
A、一个数前面有“-”号,这个数就是负数;B、非负数就是正数;
C、一个数前面没有“-”号,这个数就是正数;D、0既不是正数也不是负数;
例2把下列各数填在相应的大括号中8,,,0,,,,
正整数集合整数集合
负整数集合正分数集合
例3如果向南走米记为是米,那么向北走米记为是____________,0米的意义是______________。
例4对某种盒装牛奶进行质量检测,一盒装牛奶超出标准质量2克,记作+2克,那么克表示_________________________
知识窗口:正数和负数通常表示具有相反意义的量,一个记为正数,另一个就记为负数,我们****惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为正,
把相反意义的量规定为负。
例5若,则是;若,则是;若,则是;若,则是;(填正数、负数或0)
2、有理数的概念及分类
整数和分数统称为有理数。
有理数的分类如下:
(1)按定义分类:(2)按性质符号分类:
概念剖析:①整数和分数统称为有理数,也就是说如果一个数是有理数,则它就一定可以化成整数或分数;
②正有理数和0又称为非负有理数,负有理数和0又称为非正有理数
③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数,但并不是所有小数都是有理数,只有有限小数和无限循环小数是有理数;
例6若为无限不循环小数且,是的小数部分,则是()
A、无理数B、整数C、有理数D、不能确定
例7若为有理数,则不可能是()
A、整数B、整数和分数C、D、
3、数轴
标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。
数轴有三要素:原点、正方向、单位长度。画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。在数轴上所表示的数,右边的数总比左边的数大,即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数。
概念剖析:①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可;
②数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的方向可以是任意的方向;
③数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位长度与单位长度要保持相等;
④有理数在数轴上都能找到点与之对应,一般地,设是一个正数,则数轴上表示数的点在原点的右边,与原点的距离是个单位长度;表示数的点在原点的左边,与原点的距离是个单位长度。
⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式,这两个公式选择那个都一样。
例8在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是10,则数;若在数轴上表示数3的点到表示数的点之间的距离是,则数。
例9a,b两数在数轴上的位置如图,则下列正确的是()
0
A、a+b<0B、ab<0C、<0D、
例10下列数轴画正确的是()
0
1
—2—
2
D
—2—
0
1
2
C
0
1
B
0
A
4、相反数
如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。
概念剖析:①“如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”,不要茫然的认为“如果两个数符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。
②很显然,数的相反数是,即与互为相反数。要把它与倒数区分开。
③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边,一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称。
④在数轴上离某点的距离等于的点有两个。
⑤如果数和数互为相反数,则+=0;或;
⑥求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“—”即可;例如的相反数是;
例11下列说法正确的是()
A、若两个数互为相反数,则这两个数一定是一个正数,一个负数;
B、如果两个数互为相反数,则它们的商为-1;
C、如果+=0,则数和数互为相反数;
D、互为相反数的两个数一定不相等;
例12求出下列各数的相反数
①②③④
例13化简下列各数的符号
①②③④
知识窗口:①一个数前面加上“—”号,该数就成了它的相反数;
②一个数前面的符号确定方法:奇数个负号相当于一个负号,偶数个负号相当于一个正号,而与正号的个数无关。
5、绝对值
数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。
(1)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
(2)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数,可用字母a表示如下:
(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
概念剖析:①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”,而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数,即。
②互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
例14如果两个数的绝对值相等,那么这两个数是()
A、互为相反数B、相等C、积为0D、互为相反数或相等
例15已知ab>0,试求的值。
例16若|x|=-x,则x是_________数;
例17若│χ+3∣+∣y—2∣=0,则=;
例18将下列各数从大到小排列起来
0、、、
例19如果两个数和的绝对值相等,则下列说法正确的是()
A、B、C、D、不能确定
二、有理数的运算
1、有理数的加法
(1)有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数。
例20计算下列各式
①(–3)–(–4)+7②
③+
(2)有理数加法的运算律:
加法的交换律:a+b=b+a;加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
知识窗口:用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:先把互为相反数的数相加;把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加;把相加得整数的数先相加。
例21计算下列各式
①②
2、有理数的减法
(1)有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
(2)有理数减法常见的错误:顾此失彼,没有顾到结果的符号;仍用小学计算的****惯,不把减法变加法;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。
(3)有理数加减混合运算步骤:先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;
概念剖析:减法是加法的逆运算,用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
例22计算:
例23月球表面的温度中午是,半夜是,中午比半夜高多少度?
例24已知是6的相反数,比的相反数小5,求比大多少?
3、有理数的乘法
(1)有理数乘法的法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。
(2)有理数乘法的运算律:交换律:ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc);交换律:a(b+c)=ab+ac。
(3)倒数的定义:乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
概念剖析:①“两个有理数相乘,同号得正,异号得负”不要误认为成“同号得正,异号得负”
②多个有理数相乘时,积的符号确定规律:多个有理数相乘,若有一个因数为0,则积为0;几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正。
③有理数乘法的计算步骤:先确定积的符号,再求各因数绝对值的积。
例25计算下列各式:
①②
③④
4、有理数的除法
有理数的除法法则:除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法;除法法则也可以看成是:两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。
概念剖析:①除法是乘法的逆运算,用法则“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”即可转化,转化后它满足乘法法则和运算律。
②倒数的求法:求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即的倒数为;求一个真分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即的倒数为;求一个带分数的倒数,应先将带分数化为假分数,再求其倒数;求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其倒数。注意:0没有倒数。
例25倒数是其本身的数有_________;
例26计算下列各式:
①②③
5、有理数的乘方
(1)有理数的乘方的定义:求几个相同因数a的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。
(2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0的任何非0次幂都是0,1的任何非0次幂都是1,偶数次幂是1、奇数次幂是;
概念剖析:①“”所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a;
②。因为表示个相乘,而表示个的相反数;
③任何数的偶次幂都得非负数,即。
例27①的意义是_________________________;
②的意义是________________________;
③的意义是_________________________;
例28当,时,则_________;
例29计算:
例30若互为相反数,是自然数,则()
A、和互为相反数B、和互为相反数
C、和互为相反数D、和互为相反数
知识窗口:所有的奇数可以表示为或;所有的偶数可以表示为。
6、有理数的混合运算
(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。
(2)进行有理数的混合运算时,应注意:一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算;二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算能力。
知识窗口:有理数混合运算的关键时把握好运算顺序,即先乘方、再乘除、最后加减;有括号的先算括号;若是同级运算,应按照从左到右的顺序进行。
例31计算下列各式
①②
例31已知的绝对值为3、且满足的一元一次方程,则的值为多少?
7、科学记数法
(1)把一个大于10的数记成的形式,其中是整数位只有一位的数,这种记数方法叫做科学记数法。
(2)与实际完全符合的数叫做准确数,与准确数接近的数叫做近似数。一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
(3)一个数,从左边第一个不是的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字,叫做这个数的有效数字。
概念剖析:I把一个数用科学记数法表示为,其中,为自然数,
①当时,为这个数的整数位数减1;例如:用科学记数法表示得,它满足,(的整数部分有6位数);
②当时,为0;例如:用科学记数法表示得;
③当时,为由变到的过程中小数点移动位数的相反数;
④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法,那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。
II在让数字精确和数有效数字时应注意:
①在四舍五入法精确小数时不可轻视,即如果要求将一个小数精确到千分位,而四舍五入所得到的结果千分位为0时,该0不能省略。如:将精确到千分位,应为,不应为。其他分位也应注意。
②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字”;科学记数法的形式中,效数字只与有关,而与无关。
例32用科学记数法表示下列各数
①1893400000②800032000③④120万人民币;
例33①,它们分别是_________________________;
②,它们分别是_________________________;
③有_________位效数字,它们分别是_________________________;
④有_________位效数字,它们分别是_________________________;
例34用四舍五入法完成下列各题
①_________(精确到千分位),所得结果有___________位效数字,它们分别是_______________________;
②_________(精确到万分位),所得结果有___________位效数字,它们分别是_______________________;
③_________(精确到个位)所得结果有___________位效数字,它们分别是_______________________;
练****br/>一、选择题:
1、下列说法正确的是()
A、非负有理数即是正有理数B、0表示不存在,无实际意义
C、正整数和负整数统称为整数D、整数和分数统称为有理数
2、下列说法正确的是()
A、互为相反数的两个数一定不相等B、互为倒数的两个数一定不相等
C、互为相反数的两个数的绝对值相等D、互为倒数的两个数的绝对值相等
3、绝对值最小的数是()
A、1B、0C、–1D、不存在
4、计算所得的结果是()
A、0B、32C、D、16
5、有理数中倒数等于它本身的数一定是()
A、1B、0C、–1D、±1
6、(–3)–(–4)+7的计算结果是()
A、0B、8C、–14D、–8
7、(–2)的相反数的倒数是()
A、B、C、2D、–2
8、化简:,则是()
A、2B、–2C、2或–2D、以上都不对
9、若,则=()
A、–1B、1C、0D、3
10、有理数a,b如图所示位置,则正确的是()
A、a+b>0B、ab>0C、b-a<0D、|a|>|b|
二、填空题
11、(–5)+(–6)=________;(–5)–(–6)=_________。
12、(–5)×(–6)=_______;(–5)÷6=___________。
13、_________;=________。
14、__________;________。
15、_________;
16、平方等于64的数是___________;__________的立方等于–64
17、与它的倒数的积为__________。
18、若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,则a+b=_______;cd=______;m=__________。
19、如果a的相反数是–5,则a=_____,|a|=______,|–a–3|=________。
20、若|a|=4,|b|=6,且ab<0,则|a-b|=__________。
三、计算:
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
四、某工厂计划每天生产彩电100台,但实际上一星期的产量如下所示:
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减/辆
–1
+3
–2
+4
+7
–5
–10
比计划的100台多的记为正数,比计划中的100台少的记为负数;请算出本星期的总产量是多少台?本星期那天的产量最多,那一天的产量最少?
五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电,下表是本星期的生产情况:
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减/辆
–1
+3
–2
+4
+7
–5
–10
比前一天的产量多的计为正数,比前一天产量少的记为负数;请算出本星期最后一天星期日的产量是多少?本星期的总产量是多少?那一天的产量最多?那一天的产量最少?
第二章:用字母表示数(整式)
知识要求:
1、经历探索事物之间的数量关系,并用字母与代数式表示,初步建立符号感,发展抽像思维;
2、在具体情境中进一步理解用字母表示数的含义,能分析简单问题的数量关系,并用代数式;
3、理解代数式的含义,能解释简单代数式的实际背景或几何意义,体会数学与现实世界的联系;
4、理解合并同类项和去括号的法则,并会进行计算;
5、会求代数式的值,能解释值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律。
知识重点:
代数式的概念和意义,用代数式表示简单的数量关系,同类项的定义及去括号的方法都是本章的重点。
知识难点:
会列代数式,正确阐述代数式的意义,熟练掌握同类项合并是本章的难点。
考点:
列代数式、代数式的意义,准确地去括号、合并同类项是考试的重点。
知识点:
一、代数式的概念
1、用字母表示数之后,可能用字母表示的有
(1)具有一定数量的数;(2)一些变化的规律;(3)数的运算法则和运算定律;(4)数量关系;(5)数学公式。
2、用字母表示数的意义
用字母表示数是代数的一个重要特点,它的优点在于能简明、扼要、准确地把数和数之间的关系表示出来,化特殊为一般,深刻地揭示数量之间的联系,为我们学****数学和应用数学带来方便。
3、用字母表示数学公式
(1)加法、乘法的运算律;(2)平面图形的面积公式;(3)平面图形的周长公式;(4)立体图形的体积公式。
4、代数式的概念
用字母表示数之后,出现了一些用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们叫做代数式。
概念剖析:①运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值,大中小括号以及以后要学到的开方符号,但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号;
②单个的数字和字母也是代数式。
③判断一个式子是否是代数式,只要看看它能否满足代数式的概念即可。
下列的式子中那些是代数式①②③
④⑤⑥⑦⑧57
是代数式的有_________________________(只填序号);
例2、下列各式中不是代数式的是()
A、πB、0C、D、a+b=b+a
5、书写代数式的规定
(1)数字与字母、字母与字母相乘时,乘号可以省略不写或用“·”代替,省略乘号时,数字因数应写在字母因数的前面,数字是带分数时要改写成假分数,数字与数字相乘时仍要写“×”号。
(2)代数式中出现除法运算时,一般要写成分数的形式。