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。
:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)向量具有平移不变性
。
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。
;;
运算律:⑴加法交换律:⑵加法结合律:
⑶数乘分配律:
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
。
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,平行于,记作。
(2)共线向量定理:空间任意两个向量、(≠),//存在实数λ,使=λ。
(3)三点共线:A、B、C三点共线<=>
<=>
(4)与共线的单位向量为
(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明:空间任意的两向量都是共面的。
(2)共面向量定理:如果两个向量不共线,与向量共面的条件是存在实数使。
(3)四点共面:若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使。
若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底,叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论:设是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数,使。
:
(1)空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系中,对空间任一点,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作,叫横坐标,叫纵坐标,叫竖坐标。
注:①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)
(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示。空间中任一向量=(x,y,z)
(3)空间向量的直角坐标运算律:
①若,,则,
,,
,
,。
②若,,则。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式:若,,,则点P坐标为。推导:设P(x,y,z)则,显然,当P为AB中点时,
④,三角形重心P坐标为
⑤ΔABC的五心:
内心P:内切圆的圆心,角平分线的交点。(单位向量)
外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。
垂心P:高的交点:(移项,内积为0,则垂直)
重心P:中线的交点,三等分点(中位线比)
中心:正三角形的所有心的合一。
(4)模长公式:若,,
则,
(5)夹角公式:。
ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角,钝角Δ
(6)两点间的距离公式:若,,
则,或
。
(1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量与的夹角,记作;且规定,显然有;若,则称与互相垂直,记作:。
(2)向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:。
(3)向量的数量积:已知向量,则叫做的数量积,记作,即。
(4)空间向量数量积的性质:
①。②。③。
(5)空间向量数量积运算律:
①。②(交换律)。
③(分配律)。④不满足乘法结合率:
1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行两面的法向量平行
2线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直
2-1线面垂直线与面的法向量平行
2-2面面垂直两面的法向量垂直
3线线夹角(共面与异面)两线的方向向量的夹角或夹角的补角,
3-1线面夹角:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹角.
3-2面面夹角(二面角):若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.
:求点到平面的距离:在平面上去一点,得向量;;计算平面的法向量;.
4-1线面距离(线面平行):转化为点面距离4-2面面距离(面面平行):转化为点面距离
【典型例题】
()
-,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。
⑴;⑵;
⑶;⑷。
,问满足向量式:
(其中)的四点是否共面?
例3已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵若向量分别与向量垂直,且||=,求向量的坐标。
(如何找,转化为基底运算)
(如何建立空间直角坐标系,找坐标)
,在空间四边形中,,,,,,,求与的夹角的余弦值。
说明:由图形知向量的夹角易出错,如易错写成,切记!
,,为与的交点,为与的交点,又,求长方体的高。
【模拟试题】
,连结,设分别是的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量:(1);
(2);(3)。
,从平面外一点引向量。
。
(1)求证:四点共面;
(2)平面平面。
,,求与所成角的余弦。
,
,,求的长。
[参考答案]
:如图,
(1);
(2)。
;
(3)。
:(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,
∵,
∴共面;
(2)解:∵,又∵,
∴。
所以,平面平面。
3.
解:不妨设正方体棱长为,建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,
∴,
。
。
:⑴
∴∠BAC=60°,
⑵设=(x,y,z),则
解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴=(1,1,1)或=(-1,-1,-1)。
:
所以,。