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b、d叫后项,d叫第四比例项,如果b=c,那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2=AB·BC,叫做把线段AB黄金分割,C叫做线段AB的黄金分割点。
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:
①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥l3。
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
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①两角对应相等,两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
③三边对应成比例,两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
中考试题分类汇编相似三角形
一、选择题
1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为()
°°°°
B
A
C
D
E
A
B
C
D
O
图1
2、如图,已知D、E分别是的AB、AC边上的点,且那么等于()
:9 :3 :8 :2
3、图为rABC与rDEC重迭的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE。若rABC与rDEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=?()
(A)3(B)7(C)12(D)15。
4、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=,BP=,PD=12米,那么该古城墙的高度是()
A、6米B、8米C、18米D、24米
5、如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是()
A. B. C. D.
6、给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的两个多边形一定相似.()
A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假
7、如图2所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则cosE的值等于()
.
8、如上图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,=5,CF=3,则DM:MC的值为( )
::::4
9、如图,在中,、分别是、边的中点,若,则等于
第4题
A
B
C
D
E
A
10、已知,相似比为3,且的周长为18,则的周长为()
11、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于
D,设BP=x,则PD+PE=()
.
12、如图,在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形,则满足的关系式是()
A、B、
C、D、
E
H
F
G
C
B
A
((第13题图)
113、如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的()
.
14、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()
(第7题)
A.
B.
C.
D.
15、在同一时刻,,,则树的高度为()
A、 B、 C、 D、10米
二、填空题
1、如图,两点分别在的边上,与不平行,当满足条件(写出一个即可)时,.
E
C
D
A
F
B
图5
2、如果两个相似三角形的相似比是,那么这两个三角形面积的比是.
3、如图5,平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,
那么.
4、在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和;
并写出它的面积比.
(第5题图)
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
5、如图,点在射线上,点在射线上,且,.若,的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和
为.
图8
6、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 .
7、如图8,D、E分别是的边AB、AC上的点,则使∽的条件是.
8、如图4,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=
(第12题)
A
B
C
E
D
9、如图,在中,分别是的中点,若,则的长是.
图3
10、如图3,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA的中点C,OB的中点D,测得CD=30米,则AB=______米.
三、解答题
1、如图5,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.
(1)求证:EF∥BC.
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
2、如图:在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.
证明:∠CAE=∠CBF;
证明:AE=BF;
以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取值范围。
F
C
A
B
P
E
H
3、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:(1);
(2)
4、如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,,.
(1)求点到的距离的长;
(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
5、如图,四边形和四边形都是平行四边形,点为的中点,分别交于点.
A
B
C
D
E
P
O
R
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求.
第21题图
6、如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,。
⑴求证:△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2,求□ABCD的面积。
7、如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足.
(1)求点,点的坐标.
(2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,,点的运动时间为秒,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
8、如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△
PRQ?
9、如图10所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点,EF⊥DE交BC于点F.
(1)求证:ADE∽BEF;
(2)设正方形的边长为4,AE=,BF=.当取什么值时,有最大值?并求出这个最大值.
,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,连结BC、DE相交于点F,BC与AD相交于点G.
(1)试判断线段BC、DE的数量关系,并说明理由
(2)如果∠ABC=∠CBD,那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗?为什么?